a)2
b)3
c)5
d)7
e)11
Resposta
b
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
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Grande abraço a todos,
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Ensino Fundamental ⇒ Algebra
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AlexandreHDK
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Set 2019
12
17:19
Re: Algebra
Acho que é bem simples se irmos substituindo o valor de K:
[tex3]K=0:F=\frac{1+5^{0+1}.2^{0}}{1+5^{0}.2^{0+1}}=\frac{1+5^{1}.2^{0}}{1+5^{0}.2^{1}}=\frac{1+5.1}{1+1.2}=\frac{6}{3}=2[/tex3]
[tex3]K=1:F=\frac{1+5^{1+1}.2^{1}}{1+5^{1}.2^{1+1}}=\frac{1+5^{2}.2^{1}}{1+5^{1}.2^{2}}=\frac{1+25.2}{1+5.4}=\frac{51}{21}=\frac{17}{7}[/tex3]
Veja que em ambos os casos, pude simplificar tanto o numerador quanto o denominador dividindo por 3.
Talvez seja o caso de conseguirmos provar que [tex3](1+5^{K+1}.2^{K})[/tex3] e [tex3](1+5^{K}.2^{K+1})[/tex3] são sempre divisíveis por 3.
Acho que por indução finita funciona. Já vimos que são divisíveis para K = 0 e K = 1, então agora basta provar que se [tex3](1+5^{K+1}.2^{K})[/tex3] e [tex3](1+5^{K}.2^{K+1})[/tex3] são divisíveis por 3, isso implica que [tex3](1+5^{K+2}.2^{K+1})[/tex3] e [tex3](1+5^{K+1}.2^{K+2})[/tex3] também serão, para todo [tex3]K \geq 0[/tex3] .
Para [tex3](1+5^{K+2}.2^{K+1})[/tex3] :
[tex3](1+5^{K+2}.2^{K+1})=1+10.5^{K+1}.2^{K}=1+10.(-1+1+5^{K+1}.2^{K})=1-10+10(1+5^{K+1}.2^{K})=-9+10.(1+5^{K+1}.2^{K})[/tex3]
Ora pois, se [tex3]1+5^{K+1}.2^{K}[/tex3] é divisível por 3, então [tex3][10.(1+5^{K+1}.2^{K})][/tex3] também será, e idem para [tex3][-9+10.(1+5^{K+1}.2^{K})][/tex3] .
Aplicando o mesmo raciocínio para [tex3](1+5^{K+1}.2^{K+2})[/tex3] :
[tex3](1+5^{K+1}.2^{K+2})=1+10.5^{K}.2^{K+1}=1+10.(-1+1+5^{K}.2^{K+1})=1-10+10(1+5^{K}.2^{K+1})=-9+10.(1+5^{K}.2^{K+1})[/tex3]
Novamente, se se [tex3]1+5^{K}.2^{K+1}[/tex3] é divisível por 3, então [tex3][10.(1+5^{K}.2^{K+1})][/tex3] também será, e idem para [tex3][-9+10.(1+5^{K}.2^{K+1})][/tex3] .
Assim, concluímos que [tex3]F=\frac{1+5^{K+1}.2^{K}}{1+5^{K}.2^{K+1}}[/tex3] tem tanto o numerador quanto o numerador sempre divisíveis por 3, então sempre poderá ser simplificado por 3.
É claro que esta explicação não cabe numa questão de ensino fundamental, mas é sempre bom exercitarmos a prova matemática.
[tex3]K=0:F=\frac{1+5^{0+1}.2^{0}}{1+5^{0}.2^{0+1}}=\frac{1+5^{1}.2^{0}}{1+5^{0}.2^{1}}=\frac{1+5.1}{1+1.2}=\frac{6}{3}=2[/tex3]
[tex3]K=1:F=\frac{1+5^{1+1}.2^{1}}{1+5^{1}.2^{1+1}}=\frac{1+5^{2}.2^{1}}{1+5^{1}.2^{2}}=\frac{1+25.2}{1+5.4}=\frac{51}{21}=\frac{17}{7}[/tex3]
Veja que em ambos os casos, pude simplificar tanto o numerador quanto o denominador dividindo por 3.
Talvez seja o caso de conseguirmos provar que [tex3](1+5^{K+1}.2^{K})[/tex3] e [tex3](1+5^{K}.2^{K+1})[/tex3] são sempre divisíveis por 3.
Acho que por indução finita funciona. Já vimos que são divisíveis para K = 0 e K = 1, então agora basta provar que se [tex3](1+5^{K+1}.2^{K})[/tex3] e [tex3](1+5^{K}.2^{K+1})[/tex3] são divisíveis por 3, isso implica que [tex3](1+5^{K+2}.2^{K+1})[/tex3] e [tex3](1+5^{K+1}.2^{K+2})[/tex3] também serão, para todo [tex3]K \geq 0[/tex3] .
Para [tex3](1+5^{K+2}.2^{K+1})[/tex3] :
[tex3](1+5^{K+2}.2^{K+1})=1+10.5^{K+1}.2^{K}=1+10.(-1+1+5^{K+1}.2^{K})=1-10+10(1+5^{K+1}.2^{K})=-9+10.(1+5^{K+1}.2^{K})[/tex3]
Ora pois, se [tex3]1+5^{K+1}.2^{K}[/tex3] é divisível por 3, então [tex3][10.(1+5^{K+1}.2^{K})][/tex3] também será, e idem para [tex3][-9+10.(1+5^{K+1}.2^{K})][/tex3] .
Aplicando o mesmo raciocínio para [tex3](1+5^{K+1}.2^{K+2})[/tex3] :
[tex3](1+5^{K+1}.2^{K+2})=1+10.5^{K}.2^{K+1}=1+10.(-1+1+5^{K}.2^{K+1})=1-10+10(1+5^{K}.2^{K+1})=-9+10.(1+5^{K}.2^{K+1})[/tex3]
Novamente, se se [tex3]1+5^{K}.2^{K+1}[/tex3] é divisível por 3, então [tex3][10.(1+5^{K}.2^{K+1})][/tex3] também será, e idem para [tex3][-9+10.(1+5^{K}.2^{K+1})][/tex3] .
Assim, concluímos que [tex3]F=\frac{1+5^{K+1}.2^{K}}{1+5^{K}.2^{K+1}}[/tex3] tem tanto o numerador quanto o numerador sempre divisíveis por 3, então sempre poderá ser simplificado por 3.
É claro que esta explicação não cabe numa questão de ensino fundamental, mas é sempre bom exercitarmos a prova matemática.
Editado pela última vez por AlexandreHDK em 12 Set 2019, 17:21, em um total de 1 vez.
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