Ensino Fundamental ⇒ Triângulo

[botelho]

Calcular a área da região TKP. Se AO=OB=R e TA=TP.

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a)R²
b)2R²
c)3R²
d)[tex3]\frac{R²}{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{R²}{3}[/tex3]

e)[tex3]\frac{R²}{4}[/tex3]

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[tex3]\frac{R²}{4}[/tex3]

Resposta

---

a

[Auto Excluído (ID:12031)]

quadrilátero ATPO é cíclico, logo [tex3]\angle POT = \angle PAT = 45 \implies TK = \frac{R}{\sqrt2}[/tex3]

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[tex3]\angle POT = \angle PAT = 45 \implies TK = \frac{R}{\sqrt2}[/tex3]

aplicando ptolomeu nele: [tex3]R\sqrt2 = AO + PO \iff PO = R(\sqrt2-1)[/tex3]

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[tex3]R\sqrt2 = AO + PO \iff PO = R(\sqrt2-1)[/tex3]

e então acabou: Area do trapézio KTPO:
[tex3]S = \frac{(R(\sqrt2-1) + \frac R{\sqrt2})\cdot\frac R{\sqrt2}}2 = \frac{R^2}{2\sqrt2} (\sqrt2 -1 + \frac1{\sqrt2}) = \frac{R²}{4}(3-\sqrt2)[/tex3]

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[tex3]S = \frac{(R(\sqrt2-1) + \frac R{\sqrt2})\cdot\frac R{\sqrt2}}2 = \frac{R^2}{2\sqrt2} (\sqrt2 -1 + \frac1{\sqrt2}) = \frac{R²}{4}(3-\sqrt2)[/tex3]

Area do triângulo KPO:
[tex3]\frac{\frac R{\sqrt2}\cdot R(\sqrt2-1)}{2} = \frac{R^2(2-\sqrt2)}4[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\frac R{\sqrt2}\cdot R(\sqrt2-1)}{2} = \frac{R^2(2-\sqrt2)}4[/tex3]

a diferença:
[tex3]S =\frac{R^2}4[/tex3]

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[tex3]S =\frac{R^2}4[/tex3]

letra e

[Auto Excluído (ID:12031)]

última forma, eu errei o ptolomeu mas o raciocínio é o mesmo, eu considerei TK como diagonal, quando na verdade é OT = R.

Só refaz a conta.

Pera, eu reli agora e parece tudo certo