Como uma boa questão FROM RUSSIA não adianta buscar saídas geométricas, aqui usaremos a boa e velha algebra com uma pitada de geometria. Vamos começar essa brincadeira!!
Comece repararando que [tex3]AB=BC=CD=AD=a+b+x[/tex3]
e marcando os ponto [tex3]B,U,T,N,C[/tex3]
consecutivos e colineares sobre o lado [tex3]BC[/tex3]
em seguida os pontos [tex3]A,Q,R,P,D[/tex3]
colineares e consecutivos sobre o lado [tex3]AD[/tex3]
e seja [tex3]O[/tex3]
a intersecção das retas [tex3]QN[/tex3]
e [tex3]UP[/tex3]
(UFA)
Para não transformar esse problema em um terror trigonométrico vamos prologar os segmentos [tex3]AU[/tex3]
e [tex3]DN[/tex3]
até que se encontrem no ponto [tex3]O'[/tex3]
(esse é o primeiro eureka da questão)
Repare que pelo caso [tex3]ala[/tex3]
os [tex3]\Delta UO'N = \Delta UNO[/tex3]
portanto [tex3]O'T=TO=h[/tex3]
e [tex3]OU=UO'[/tex3]
(isso será importantíssimo)
Repare também que como os lados do quadrado são paralelos então [tex3]\Delta UO'N[/tex3]
~[tex3]AO'D[/tex3]
PORTANTO:
[tex3]\frac{b}{a+b+x}=\frac{h}{h+a+b+x}[/tex3]
[tex3]bh+ab+b^2+bx=ah+bh+hx)[/tex3]
[tex3]h=\frac{b(a+b+x)}{a+x}[/tex3]
(preparem para sentir raiva com essa expressão
)
A partir daqui começamos as loucuras!!
Façamos [tex3]UO=n[/tex3]
e [tex3]UT=k[/tex3]
nosso problema agora vai se resumir em encontrar [tex3]k[/tex3]
então gogo
Prolongue [tex3]AB[/tex3]
até o ponto [tex3]H[/tex3]
tal que [tex3]HO'[/tex3]
seja perpendicular a [tex3]AH[/tex3]
daí pelo TEOREMA DE TALES
[tex3]\frac{\sqrt{a^2+(a+b+x)^2}}{a+b+x}=\frac{n}{h}[/tex3]
[tex3]\frac{\sqrt{a^2+(a+b+x)^2}}{a+b+x}=\frac{n}{\frac{b(a+b+x)}{a+x}}[/tex3]
[tex3]n=\frac{b\sqrt{a^2+(a+b+x)^2}}{(a+x)}[/tex3]
(NÃO DESISTA, ESTÁ ACABANDO
!!)
Aplicando o TEOREMA DE PIT em [tex3]\Delta UTO[/tex3]
[tex3]k^2=n^2-h^2[/tex3]
[tex3]k^2=\frac{b^2(a^2+(a+b+x)^2)}{(a+x)^2}-\frac{b^2(a+b+x)^2}{(a+x)^2}[/tex3]
(HAHAAAAAAAAAAA AGORA SIM TA FICANDO BOM, SACA SÓ)
[tex3]k^2=\frac{b^2}{(a+x)^2}(a^2+(a+b+x)^2-(a+b+x)^2)[/tex3]
(oooh yeah)
[tex3]k^2=\frac{b^2*a^2}{(a+x)^2}[/tex3]
[tex3]k=\frac{ab}{a+x}[/tex3]
AGORA FINALMENTE, supondo [tex3]BC[/tex3]
, como sendo diametro podemos aplicar métricas
[tex3]h^2=(a+k)(b-k+x)[/tex3]
[tex3]\frac{b^2(a+b+x)^2}{(a+x)^2}=(a+\frac{ab}{a+x})(b+x-\frac{ab}{a+x})[/tex3]
AGORA É SÓ SORRIR OU RASGAR A FOLHA
[tex3]\frac{b^2(a+b+x)^2}{(a+x)^2}=a(\frac{a+b+x}{a+x})(\frac{ab+bx-ab+ax+x^2}{a+x})[/tex3]
[tex3]\frac{b^2(a+b+x)^2}{(a+x)^2}=a(\frac{a+b+x}{a+x})(\frac{bx+ax+x^2}{a+x})[/tex3]
[tex3]\frac{b^2(a+b+x)^2}{(a+x)^2}=\frac{ax(a+b+x)(b+a+x)}{(a+x)^2}[/tex3]
cortando essa disgrassa toda
[tex3]b^2=ax[/tex3]
[tex3]x=\frac{b^2}{a}[/tex3]
[tex3]PIMBADA!!!!!!![/tex3]
Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.