Ensino Fundamental ⇒ Ângulo

[botelho]

Calcule [tex3]\alpha [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\alpha [/tex3]

nin.PNG (20.23 KiB) Exibido 1614 vezes

a)15º
b)25º
c)30°
d)36°
e)45°

Resposta

---

c

[botelho]

UP!!
Agradeço pela ajuda..

[Auto Excluído (ID:12031)]

as cordas de mesmo tamanho dividem um arco de 180º em 4 partes iguais, logo os arcos associados a essas cordas medem 45º.

Não consigo ver como continuar sem apelar pra lei dos senos no triângulo da esquerda

[geobson]

...........up................

[geobson]

jvmago, alguma saída pra essa?

[jvmago]

Olhando para a base temos que os ângulos valem 135/2

Olhando para o triângulo isosceles lá em cima temos que os ângulos das bases serão 45/2

No triângulo esquerdo menor tem seu menor ângulo valendo 37/2 e por fim os da base dele serão 135/2 e 75

Daí é só jogar umas leis dos senos e cossenos, eu tô fazendo pelo telefone então vou deixar para mais tarde

[geobson]

Daí é só jogar umas leis dos senos e cossenos, eu tô fazendo pelo telefone então vou deixar para mais tarde

Era bom depois rematar .. .

[csmarcelo]

Untitled.png (36.82 KiB) Exibido 893 vezes

[tex3]\begin{cases}\delta=\frac{180^\circ(n-2)}{n}\\n=8\end{cases}\implies\delta=135^\circ\therefore\cos\delta=-\cos45^\circ=-\frac{\sqrt{2}}{{2}}[/tex3]

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[tex3]\begin{cases}\delta=\frac{180^\circ(n-2)}{n}\\n=8\end{cases}\implies\delta=135^\circ\therefore\cos\delta=-\cos45^\circ=-\frac{\sqrt{2}}{{2}}[/tex3]

[tex3]\beta=\frac{135^\circ}{2}\therefore\sin\beta=\sqrt{\frac{1-\cos135^\circ}{2}}=\sqrt{\frac{1-(-\cos45^\circ)}{2}}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}[/tex3]

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[tex3]\beta=\frac{135^\circ}{2}\therefore\sin\beta=\sqrt{\frac{1-\cos135^\circ}{2}}=\sqrt{\frac{1-(-\cos45^\circ)}{2}}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}[/tex3]

[tex3]\gamma=75^\circ\text{(por Tales)}\therefore\sin\gamma=\cos15^\circ=\sqrt{\frac{1+\cos30^\circ}{2}}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}[/tex3]

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[tex3]\gamma=75^\circ\text{(por Tales)}\therefore\sin\gamma=\cos15^\circ=\sqrt{\frac{1+\cos30^\circ}{2}}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}[/tex3]

Da lei dos senos

[tex3]\frac{b}{\sin\beta}=\frac{a}{\sin\gamma}[/tex3]

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[tex3]\frac{b}{\sin\beta}=\frac{a}{\sin\gamma}[/tex3]

[tex3]\frac{a}{\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}}=\frac{b}{\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}}\therefore b=a\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{\sqrt{2+\sqrt{3}}}[/tex3]

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[tex3]\frac{a}{\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}}=\frac{b}{\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}}\therefore b=a\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{\sqrt{2+\sqrt{3}}}[/tex3]

Da lei dos cossenos

[tex3]c^2=a^2+a^2+2a^2\cos\delta[/tex3]

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[tex3]c^2=a^2+a^2+2a^2\cos\delta[/tex3]

[tex3]c=a\sqrt{(2-2\cos\delta)}=a\sqrt{\[2-2\(-\frac{\sqrt{2}}{{2}}\)\]}=a\sqrt{2+\sqrt{2}}[/tex3]

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[tex3]c=a\sqrt{(2-2\cos\delta)}=a\sqrt{\[2-2\(-\frac{\sqrt{2}}{{2}}\)\]}=a\sqrt{2+\sqrt{2}}[/tex3]

Novamente da lei dos cossenos

[tex3]d^2=b^2+c^2-2bc\cdot\cos75^\circ[/tex3]

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[tex3]d^2=b^2+c^2-2bc\cdot\cos75^\circ[/tex3]

[tex3]d=\sqrt{\(a\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{\sqrt{2+\sqrt{3}}}\)^2+\(a\sqrt{2+\sqrt{2}}\)^2-2\(a\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{\sqrt{2+\sqrt{3}}}\)\(a\sqrt{2+\sqrt{2}}\)\(-\frac{\sqrt{2}}{2}\)}=a\sqrt{2(2+\sqrt{2})}[/tex3]

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[tex3]d=\sqrt{\(a\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{\sqrt{2+\sqrt{3}}}\)^2+\(a\sqrt{2+\sqrt{2}}\)^2-2\(a\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{\sqrt{2+\sqrt{3}}}\)\(a\sqrt{2+\sqrt{2}}\)\(-\frac{\sqrt{2}}{2}\)}=a\sqrt{2(2+\sqrt{2})}[/tex3]

Da lei dos senos

[tex3]\frac{d}{\sin\beta}=\frac{a}{\sin\alpha}\therefore\sin\alpha=\frac{a\sin\beta}{d}=\frac{a\sqrt{\frac{2+\sqrt{2}}{2}}}{a\sqrt{2(2+\sqrt{2})}}=\frac{1}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{d}{\sin\beta}=\frac{a}{\sin\alpha}\therefore\sin\alpha=\frac{a\sin\beta}{d}=\frac{a\sqrt{\frac{2+\sqrt{2}}{2}}}{a\sqrt{2(2+\sqrt{2})}}=\frac{1}{2}[/tex3]

[geobson]

csmarcelo, obrigado meu amigo . belíssima solução!

[csmarcelo]

Acredito que você percebeu, mas, só para ficar registrado, eu inverti [tex3]a[/tex3]

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[tex3]a[/tex3]

e [tex3]b[/tex3]

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[tex3]b[/tex3]

no desenho.