Ensino Fundamental ⇒ Limite Tópico resolvido

[menelaus]

Prove que o limite não existe: [tex3]\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{xy}{y - x³}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{xy}{y - x³}[/tex3]

[Cardoso1979]

Observe

1° Modo:

Seja [tex3]f(x,y)=\frac{xy}{y-x^3}[/tex3]

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[tex3]f(x,y)=\frac{xy}{y-x^3}[/tex3]

. Tomemos [tex3]\gamma _{1}(t)=(0,t)[/tex3]

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[tex3]\gamma _{1}(t)=(0,t)[/tex3]

e [tex3]\gamma _{2}(t)=(\sqrt[3]{t-t^2},t)[/tex3]

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[tex3]\gamma _{2}(t)=(\sqrt[3]{t-t^2},t)[/tex3]

. Segue que

[tex3]\lim_{t \rightarrow \ 0}f(\gamma _{1}(t))=\lim_{t \rightarrow \ 0}\frac{0}{t}=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{t \rightarrow \ 0}f(\gamma _{1}(t))=\lim_{t \rightarrow \ 0}\frac{0}{t}=0[/tex3]

e

[tex3]\lim_{t \rightarrow \ 0}f(\gamma _{2}(t))=\lim_{t \rightarrow \ 0}\frac{t\sqrt[3]{t-t^2}}{t^2}=\lim_{t \rightarrow \ 0}\frac{\sqrt[3]{t^4(1-t)}}{\sqrt[3]{t^6}}=\lim_{t \rightarrow \ 0}\frac{\sqrt[3]{1-t}}{\sqrt[3]{t^2}}=∞[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{t \rightarrow \ 0}f(\gamma _{2}(t))=\lim_{t \rightarrow \ 0}\frac{t\sqrt[3]{t-t^2}}{t^2}=\lim_{t \rightarrow \ 0}\frac{\sqrt[3]{t^4(1-t)}}{\sqrt[3]{t^6}}=\lim_{t \rightarrow \ 0}\frac{\sqrt[3]{1-t}}{\sqrt[3]{t^2}}=∞[/tex3]

.c.q.p

Portanto, o limite dado não existe!



2° Modo:

Se o limite fosse L , L real , existiria r > 0 tal que para todo ( x , y ) no domínio da função teríamos

0 < || ( x , y ) || < r ⇒ L - 1 < f( x , y ) < L + 1. ( I )

Todavia, para todo [tex3]x_{o}[/tex3]

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[tex3]x_{o}[/tex3]

> 0, f( x [tex3]_{o}[/tex3]

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[tex3]_{o}[/tex3]

, y ) = [tex3]\frac{x_{o}y}{y-x_{o}^{3}}[/tex3]

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[tex3]\frac{x_{o}y}{y-x_{o}^{3}}[/tex3]

tende a + ∞ quando y tende a [tex3]x_{o}^{3}[/tex3]

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[tex3]x_{o}^{3}[/tex3]

pela esquerda e isto contradiz ( l ). c.q.p.

Logo, o limite em questão não existe!


Bons estudos!

[Loreto]

O primeiro método ok, só não entendi como você achou o caminho de lambida 2.

O segundo método, não entendi a notação || (x,y)|| . Isso é módulo ou norma? Não deveria ser || (x,y) - (1,1)|| ?

Não entendi muito bem porque quando y tende a x³ pela esquerda vai pra mais infinito? Vlw.

[Cardoso1979]

O primeiro método ok, só não entendi como você achou o caminho de lambida 2.

"Coisas" de matemático louco ! Dois métodos, se não entendeu , paciência! Aconselho a rever o assunto ou tirar dúvidas com o seu professor em sala de aula, eu sempre falo aqui, o que eu faço aqui é somente uma orientação ( um complemento ).

Abraços!

[Loreto]

Tem isso não, me viro sozinho

[Cardoso1979]

Tem isso não, me viro sozinho

É isso aí garoto! Gosto de ver assim!