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Enviado: Ter 19 Fev, 2019 06:27
Calcule o valor de x³-3x+6, se x=[tex3]\sqrt[3]{2+\sqrt{3}} + \sqrt[3]{2-\sqrt{3}}[/tex3]
.
a)10
b)9
c)8
d)7
e)6
a
a)10
b)9
c)8
d)7
e)6
Resposta
a
Note que podemos passar as parcelas do lado direita da igualdade para o lado esquerdo, de sorte que a igualdade do enunciado é equivalente a
[tex3]\begin{align}x = \sqrt[3]{ 2 + \sqrt3} + \sqrt[3]{ 2 - \sqrt3} \\ x - \sqrt[3]{ 2 + \sqrt3} - \sqrt[3]{ 2 - \sqrt3} = 0 .\end{align}[/tex3]
Mas sabemos que se [tex3]a + b + c = 0[/tex3] implica [tex3]a^3 + b^3 + c^3 = 3abc,[/tex3] e daí
[tex3]x^3 - \( \sqrt[3]{ 2 + \sqrt3}\)^3 - \(\sqrt[3]{ 2 - \sqrt3}\)^3 = 3x\sqrt[3]{\left( 2 +\sqrt{3} \right)\left( 2 - \sqrt{3} \right)} \\ x^3 - \left( 2 +\sqrt{3} \right) - \left( 2 - \sqrt{3} \right) = 3x\sqrt[3]{\left( 2 +\sqrt{3} \right)\left( 2 - \sqrt{3} \right)} \\ x^3 -3x = +4.[/tex3]
Somando [tex3]6[/tex3] em ambos os lados da igualdade, temos
[tex3]x^3 -3x +6 = 10. [/tex3]