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[botelho]

Ao reduzir [tex3]\frac{4x(x+\sqrt{x²-1})^2}{(x+\sqrt{x²-1})^{4}-1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{4x(x+\sqrt{x²-1})^2}{(x+\sqrt{x²-1})^{4}-1}[/tex3]

,obtemos:

[LostWalker]

Consegui reduzir um pouco, mas acho que não está completo

Antes de tudo, vamos dizer que:

[tex3]a=(x+\sqrt{x^2-1})^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a=(x+\sqrt{x^2-1})^2[/tex3]

[tex3]a=x^2+2x\sqrt{x^2-1}+x^2-1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a=x^2+2x\sqrt{x^2-1}+x^2-1[/tex3]

[tex3]a=2x^2+2x\sqrt{x^2-1}-1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a=2x^2+2x\sqrt{x^2-1}-1[/tex3]

Agora, vamos substituir:

[tex3]\frac{4xa}{a^{2}-1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{4xa}{a^{2}-1}[/tex3]

[tex3]\frac{4xa}{a^{2}-1^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{4xa}{a^{2}-1^2}[/tex3]

[tex3]\frac{4xa}{(a+1)(a-1)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{4xa}{(a+1)(a-1)}[/tex3]

Retornaremos com a substituição (Percebe que deixarei o [tex3]a[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a[/tex3]

de cima da fração sem alteração):

[tex3]\frac{4x. {\color{Red}(x+\sqrt{x^2-1})^2}}{({\color{Red}2x^2+2x\sqrt{x^2-1}-1}+1)({\color{Red}2x^2+2x\sqrt{x^2-1}-1}-1)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{4x. {\color{Red}(x+\sqrt{x^2-1})^2}}{({\color{Red}2x^2+2x\sqrt{x^2-1}-1}+1)({\color{Red}2x^2+2x\sqrt{x^2-1}-1}-1)}[/tex3]

[tex3]\frac{4x. (x+\sqrt{x^2-1})^2}{(2x^2+2x\sqrt{x^2-1})(2x^2+2x\sqrt{x^2-1}-2)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{4x. (x+\sqrt{x^2-1})^2}{(2x^2+2x\sqrt{x^2-1})(2x^2+2x\sqrt{x^2-1}-2)}[/tex3]

[tex3]\frac{\cancel4x. (x+\sqrt{x^2-1})^2}{\cancel2.(x^2+x\sqrt{x^2-1}).\cancel2.(x^2+x\sqrt{x^2-1}-1)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\cancel4x. (x+\sqrt{x^2-1})^2}{\cancel2.(x^2+x\sqrt{x^2-1}).\cancel2.(x^2+x\sqrt{x^2-1}-1)}[/tex3]

[tex3]\frac{ \cancel{x. (x+\sqrt{x^2-1})}^2}{\cancel{x.(x+\sqrt{x^2-1})}\ .(x^2+x\sqrt{x^2-1}-1)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{ \cancel{x. (x+\sqrt{x^2-1})}^2}{\cancel{x.(x+\sqrt{x^2-1})}\ .(x^2+x\sqrt{x^2-1}-1)}[/tex3]

[tex3]\frac{x+\sqrt{x^2-1}}{x^2+x\sqrt{x^2-1}-1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{x+\sqrt{x^2-1}}{x^2+x\sqrt{x^2-1}-1}[/tex3]

OBS: Ainda acho que tem mais a fazer, mas isso foi o que consegui reduzir

[Avenger]

Dando continuidade a solução do LostWalker

Observe que podemos fatorar a fração
[tex3]\frac{x+\sqrt{x^2-1}}{x^2+x\sqrt{x^2-1}-1}=\frac{x+\sqrt{x^2-1}}{x^2-1+x\sqrt{x^2-1}}=\frac{x+\sqrt{x^2-1}}{\sqrt{x^2-1}(\sqrt{x^2-1}+x)}=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{x+\sqrt{x^2-1}}{x^2+x\sqrt{x^2-1}-1}=\frac{x+\sqrt{x^2-1}}{x^2-1+x\sqrt{x^2-1}}=\frac{x+\sqrt{x^2-1}}{\sqrt{x^2-1}(\sqrt{x^2-1}+x)}=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}[/tex3]