Ensino Fundamental

Mensagem não lidapor **botelho** » Ter 15 Jan, 2019 06:57

Simplifique [tex3]\frac{a³+b³+c³}{a+b+c}[/tex3] -(a+b+c)², se [tex3]a^{-1} + b^{-1} + c^{-1}[/tex3] =([tex3]a+b+c)^{-1}[/tex3] .

Mensagem não lidapor **erihh3** » Ter 15 Jan, 2019 23:36 · Mensagem não lida por **erihh3** » Ter 15 Jan, 2019 23:36

Seja

[tex3]s_1=a+b+c[/tex3]
[tex3]s_2=ab+bc+ac[/tex3]
[tex3]s_3=abc[/tex3]

Deste modo,

[tex3]a^3+b^2+c^3=s_1^3-3\cdot s_1\cdot s_2 +3\cdot s_3[/tex3]

Analisando a expressão dada

[tex3]a^{-1}+b^{-1}+c^{-1}=(a+b+c)^{-1}[/tex3]

Fazendo MMC

[tex3]\frac{ab+bc+ac}{abc}=(a+b+c)^{-1}[/tex3]

[tex3]\frac{s_2}{s_3}=\frac{1}{s_1}[/tex3] (i)

Vamos reescrever a expressão pedida

[tex3]\frac{a³+b³+c³}{a+b+c}-(a+b+c)^2[/tex3]

[tex3]\frac{a³+b³+c³-(a+b+c)^3}{a+b+c}[/tex3]

Assim,

[tex3]\frac{s_1^3-3\cdot s_1\cdot s_2 +3\cdot s_3-s_1^3}{s_1}[/tex3]

[tex3]\frac{-3\cdot s_1\cdot s_2 +3\cdot s_3}{s_1}[/tex3]

[tex3]-3 \cdot s_2+\frac{3 \cdot s_3}{s_1} [/tex3]

Substituindo (i) na expressão acima

[tex3]-3 \cdot s_2+3\cdot s_3 \cdot\frac{ s_2}{s_3} [/tex3]

[tex3]-3 \cdot s_2+3\cdot s_2=0 [/tex3]

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