a)1
b)2
c)3
d)4
e)5
Resposta
a
Ensino Fundamental ⇒ Algebra
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Jan 2019
05
08:32
Algebra
Se abc [tex3]\neq [/tex3]
0 e [tex3]\frac{ab}{c} + \frac{ac}{b} + \frac{bc}{a}[/tex3]
=a+b+c,caçule o valor de [tex3]\frac{a^{77}+b^{77}+c^{77}}{[(ab)^{7}+(ac)^{7}+(bc)^{7}](abc)^{21}}[/tex3]
a)1
b)2
c)3
d)4
e)5
a
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b)2
c)3
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a
-
Auto Excluído (ID:12031)
- Última visita: 31-12-69
Jan 2019
05
10:49
Re: Algebra
Não consegui, fica aqui minha tentativa:
multiplica os dois lados por [tex3]abc[/tex3]
[tex3](a+b+c)(abc) = (ab)^2 + (bc)^2+(ac)^2[/tex3]
seja
[tex3]\sigma_2 = ab + bc + ac \implies \sigma _2^2 = (ab)^2 + (bc)^2 + (ac)^2 + 2abc(b+a+c)[/tex3]
[tex3]\sigma _1 = a+b+c[/tex3]
[tex3]\sigma _3 = abc[/tex3]
no caso temos
[tex3]\sigma_2^2 = 3abc(a+b+c) = 3 \sigma _3 \sigma _1[/tex3]
[tex3]\sigma _2 = \pm \sqrt{3\sigma_1 \sigma _3}[/tex3]
[tex3]a,b,c[/tex3] são raízes de [tex3]z^3 - z^2 \sigma _1 + \sigma _2 z - \sigma _3 = 0 [/tex3]
[tex3]a^3 = a^2 \sigma _1- a\sigma _2 + \sigma_3[/tex3]
lembre-se que
[tex3](a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2\sigma_2 \iff a^2+b^2+c^2 = \sigma_1^2 \mp 2\sqrt{3 \sigma _1 \sigma _3}[/tex3]
[tex3]a^3 + b^3 + c^3 = \sigma_1 ( a^2+b^2+c^2) - \sigma_2 \sigma_1 + 3\sigma _ 3[/tex3]
[tex3]a^3 + b^3 + c^3 = \sigma_1(\sigma _1^2 \mp2\sqrt{3 \sigma _1 \sigma _3} ) \mp \sqrt{3\sigma_1 \sigma _3} \sigma _1 + 3\sigma_3[/tex3]
[tex3]a^3+b^3+c^3 = \sigma_1^3 \mp 3\sigma_1 \sqrt{\sigma_1 \sigma _3} + 3\sigma_3[/tex3]
Seja [tex3]S_n = a^n + b^n + c^n[/tex3]
então
[tex3]S_{n+3} - \sigma_1 S_{n+2} \pm \sqrt{3\sigma _1 \sigma_3} S_{n+1} - \sigma_3 S_n =0 [/tex3]
multiplica os dois lados por [tex3]abc[/tex3]
[tex3](a+b+c)(abc) = (ab)^2 + (bc)^2+(ac)^2[/tex3]
seja
[tex3]\sigma_2 = ab + bc + ac \implies \sigma _2^2 = (ab)^2 + (bc)^2 + (ac)^2 + 2abc(b+a+c)[/tex3]
[tex3]\sigma _1 = a+b+c[/tex3]
[tex3]\sigma _3 = abc[/tex3]
no caso temos
[tex3]\sigma_2^2 = 3abc(a+b+c) = 3 \sigma _3 \sigma _1[/tex3]
[tex3]\sigma _2 = \pm \sqrt{3\sigma_1 \sigma _3}[/tex3]
[tex3]a,b,c[/tex3] são raízes de [tex3]z^3 - z^2 \sigma _1 + \sigma _2 z - \sigma _3 = 0 [/tex3]
[tex3]a^3 = a^2 \sigma _1- a\sigma _2 + \sigma_3[/tex3]
lembre-se que
[tex3](a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2\sigma_2 \iff a^2+b^2+c^2 = \sigma_1^2 \mp 2\sqrt{3 \sigma _1 \sigma _3}[/tex3]
[tex3]a^3 + b^3 + c^3 = \sigma_1 ( a^2+b^2+c^2) - \sigma_2 \sigma_1 + 3\sigma _ 3[/tex3]
[tex3]a^3 + b^3 + c^3 = \sigma_1(\sigma _1^2 \mp2\sqrt{3 \sigma _1 \sigma _3} ) \mp \sqrt{3\sigma_1 \sigma _3} \sigma _1 + 3\sigma_3[/tex3]
[tex3]a^3+b^3+c^3 = \sigma_1^3 \mp 3\sigma_1 \sqrt{\sigma_1 \sigma _3} + 3\sigma_3[/tex3]
Seja [tex3]S_n = a^n + b^n + c^n[/tex3]
então
[tex3]S_{n+3} - \sigma_1 S_{n+2} \pm \sqrt{3\sigma _1 \sigma_3} S_{n+1} - \sigma_3 S_n =0 [/tex3]
Jan 2019
05
11:15
Re: Algebra
Dividindo os dois lados por abc, fica:
[tex3]\frac{1}{c^2}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{a+b+c}{abc}=\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac} +\frac{1}{ab}[/tex3]
Então: [tex3]\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca} \Rightarrow a=b=c[/tex3]
Portanto: [tex3]\frac{a^{77}+b^{77}+c^{77}}{[(ab)^{7}+(ac)^{7}+(bc)^{7}](abc)^{21}}=\frac{3a^{77}}{(3a^{14})a^{63}}=\boxed{1}[/tex3]
[tex3]\frac{1}{c^2}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{a+b+c}{abc}=\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac} +\frac{1}{ab}[/tex3]
Então: [tex3]\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca} \Rightarrow a=b=c[/tex3]
Portanto: [tex3]\frac{a^{77}+b^{77}+c^{77}}{[(ab)^{7}+(ac)^{7}+(bc)^{7}](abc)^{21}}=\frac{3a^{77}}{(3a^{14})a^{63}}=\boxed{1}[/tex3]
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