Ensino Fundamental ⇒ Produtos Notáveis

[botelho]

Se (a+b+c)²=a²+b²+c²,com {a;b;c} pertencente aos reais positivos.Calcule o valor de [tex3]\frac{-abc(a+b+c)}{(ab)²+(bc)²+(ac)²}[/tex3]

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[tex3]\frac{-abc(a+b+c)}{(ab)²+(bc)²+(ac)²}[/tex3]

.
a)1
b)2
c)3
d)[tex3]\frac{1}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{1}{2}[/tex3]

e)[tex3]\frac{1}{3}[/tex3]

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[tex3]\frac{1}{3}[/tex3]

Resposta

---

d

[erihh3]

(a+b+c)²=a²+b²+c²
[tex3]a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=a^2+b^2+c^2[/tex3]

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[tex3]a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=a^2+b^2+c^2[/tex3]

[tex3]ab+bc+ac=0[/tex3]

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[tex3]ab+bc+ac=0[/tex3]

Eleve ao quadrado
[tex3](ab)^2+(bc)^2+(ac)^2+2a^2bc +2ab^2c +2abc^2=0[/tex3]

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[tex3](ab)^2+(bc)^2+(ac)^2+2a^2bc +2ab^2c +2abc^2=0[/tex3]

[tex3](ab)^2+(bc)^2+(ac)^2+2abc(a+b+c)=0[/tex3]

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[tex3](ab)^2+(bc)^2+(ac)^2+2abc(a+b+c)=0[/tex3]

[tex3](ab)^2+(bc)^2+(ac)^2=-2abc(a+b+c)[/tex3]

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[tex3](ab)^2+(bc)^2+(ac)^2=-2abc(a+b+c)[/tex3]

Substituindo na expressão pedida

[tex3]\frac{-abc(a+b+c)}{-2abc(a+b+c)}=\frac{1}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{-abc(a+b+c)}{-2abc(a+b+c)}=\frac{1}{2}[/tex3]

[petras]

Se [tex3]ab+bc+ac=0[/tex3]

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[tex3]ab+bc+ac=0[/tex3]

e a, b e c [tex3]\in R^+[/tex3]

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[tex3]\in R^+[/tex3]

não haveria uma contradição?
Como a soma de números positivos poderia ser nula?

[erihh3]

Verdade. Eu nem tinha percebido isso porque não precisei usar a informação. O problema é desse dado que eles devem ser positivos mesmo.

Veja que a resposta, a principio, deveria ser um.numero negativo também. No entanto, todas as respostas são positivas. É problema do enunciado mesmo.

[erihh3]

Daria até pra mostrar que não poderia ser usando a desigualdade triangular

|u+v+w|=<|u|+|v|+|w|

Sendo u=(a,0,0) , v=(0,b,0) e w=(0,0,c) e vendo que a igualdade é impossível uma vez que eles não são paralelos.