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Essa é a imagem inicial com os ângulos marcados.
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Traçando FH, o quadrilátero AHFB é cíclico.
Sendo assim <BHF é vermelho, daí BF=FH.
BF é altura e bissetriz, ou seja, BED é isósceles. EF=FD=4. BE=BD.
Pelo teorema de Pitágoras:
[tex3]\begin{cases}
BD^2+AB^2=AD^2 \\
AF^2+BF^2=AB^2 \\
BD^2=BF^2+FD^2
\end{cases}[/tex3]
Pegando a primeira, usando a segunda e depois usando a terceira chega-se em:
[tex3]BF^2+FD^2+AF^2+BF^2=AD^2 [/tex3]
[tex3]BF=4\sqrt{2} [/tex3]
Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]