Ensino FundamentalMMC e MDC (matemática para vencer) Tópico resolvido

Problemas sobre assuntos estudados no Ensino Fundamental devem ser postados aqui (exceto problemas de Vestibulares).

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vic2671
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Nov 2018 01 08:05

MMC e MDC (matemática para vencer)

Mensagem não lida por vic2671 »

(CM)Qual o quadrado do menor número natural diferente de zero pelo qual devemos multiplicar 270 para que o novo produto encontrado tenha exatamente 36 divisores?
(a)100 (b)30 (c)25 (d)10(e)4

Gabarito = Alternativa A




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csmarcelo
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Nov 2018 01 10:41

Re: MMC e MDC (matemática para vencer)

Mensagem não lida por csmarcelo »

[tex3]270=2\cdot3^3\cdot5[/tex3]

Queremos

[tex3]270\cdot k=2^{1+a}\cdot3^{3+b}\cdot5^{1+c}[/tex3]

Onde

1) [tex3]k=2^a\cdot3^b\cdot5^c[/tex3]

2) [tex3][(1+a)+1][(3+b)+1][(1+c)+1]=(a+2)(b+4)(c+2)=36=2^2\cdot3^2[/tex3]

Podemos reescrever [tex3]2^2\cdot3^2[/tex3] como um produto de 3 fatores de três formas diferentes:

1) [tex3]2\cdot9\cdot2[/tex3]

2) [tex3]3\cdot4\cdot3[/tex3]

3) [tex3]2\cdot6\cdot3[/tex3]

Com uma rápida análise, fica evidente que a segunda combinação é a que nos permite valores para [tex3]a[/tex3] , [tex3]b[/tex3] e [tex3]c[/tex3] tais que [tex3]k[/tex3] será o menor possível, a saber, [tex3]\begin{cases}a=1\\b=0\\c=1\end{cases}\rightarrow k=2^1\cdot3^0\cdot5^1=10[/tex3]

OBS: apesar de improvável, a suposição de que [tex3]k=2^a\cdot3^b\cdot5^c[/tex3] , poderia resultar em valores impossíveis para [tex3]a[/tex3] , [tex3]b[/tex3] ou [tex3]c[/tex3] . Nesse caso, teríamos que adicionar mais fatores primos, sempre os menores possíveis.




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vic2671
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Nov 2018 01 13:13

Re: MMC e MDC (matemática para vencer)

Mensagem não lida por vic2671 »

csmarcelo escreveu:
Qui 01 Nov, 2018 10:41
[tex3]270=2\cdot3^3\cdot5[/tex3]

Queremos

[tex3]270\cdot k=2^{1+a}\cdot3^{3+b}\cdot5^{1+c}[/tex3]

Onde

1) [tex3]k=2^a\cdot3^b\cdot5^c[/tex3]

2) [tex3][(1+a)+1][(3+b)+1][(1+c)+1]=(a+2)(b+4)(c+2)=36=2^2\cdot3^2[/tex3]

Podemos reescrever [tex3]2^2\cdot3^2[/tex3] como um produto de 3 fatores de três formas diferentes:

1) [tex3]2\cdot9\cdot2[/tex3]

2) [tex3]3\cdot4\cdot3[/tex3]

3) [tex3]2\cdot6\cdot3[/tex3]

Com uma rápida análise, fica evidente que a segunda combinação é a que nos permite valores para [tex3]a[/tex3] , [tex3]b[/tex3] e [tex3]c[/tex3] tais que [tex3]k[/tex3] será o menor possível, a saber, [tex3]\begin{cases}a=1\\b=0\\c=1\end{cases}\rightarrow k=2^1\cdot3^0\cdot5^1=10[/tex3]

OBS: apesar de improvável, a suposição de que [tex3]k=2^a\cdot3^b\cdot5^c[/tex3] , poderia resultar em valores impossíveis para [tex3]a[/tex3] , [tex3]b[/tex3] ou [tex3]c[/tex3] . Nesse caso, teríamos que adicionar mais fatores primos, sempre os menores possíveis.
Obrigado, vlw pela ajuda.



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erastóstones
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Re: MMC e MDC (matemática para vencer)

Mensagem não lida por erastóstones »

csmarcelo escreveu:
Qui 01 Nov, 2018 10:41
[tex3]270=2\cdot3^3\cdot5[/tex3]

Queremos

[tex3]270\cdot k=2^{1+a}\cdot3^{3+b}\cdot5^{1+c}[/tex3]

Onde

1) [tex3]k=2^a\cdot3^b\cdot5^c[/tex3]

2) [tex3][(1+a)+1][(3+b)+1][(1+c)+1]=(a+2)(b+4)(c+2)=36=2^2\cdot3^2[/tex3]

Podemos reescrever [tex3]2^2\cdot3^2[/tex3] como um produto de 3 fatores de três formas diferentes:

1) [tex3]2\cdot9\cdot2[/tex3]

2) [tex3]3\cdot4\cdot3[/tex3]

3) [tex3]2\cdot6\cdot3[/tex3]

Com uma rápida análise, fica evidente que a segunda combinação é a que nos permite valores para [tex3]a[/tex3] , [tex3]b[/tex3] e [tex3]c[/tex3] tais que [tex3]k[/tex3] será o menor possível, a saber, [tex3]\begin{cases}a=1\\b=0\\c=1\end{cases}\rightarrow k=2^1\cdot3^0\cdot5^1=10[/tex3]

OBS: apesar de improvável, a suposição de que [tex3]k=2^a\cdot3^b\cdot5^c[/tex3] , poderia resultar em valores impossíveis para [tex3]a[/tex3] , [tex3]b[/tex3] ou [tex3]c[/tex3] . Nesse caso, teríamos que adicionar mais fatores primos, sempre os menores possíveis.
Amigo,por que as bases do k são as mesmas do 270?Não poderia ser outras?



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csmarcelo
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Re: MMC e MDC (matemática para vencer)

Mensagem não lida por csmarcelo »

Foi o que eu falei no fim.
OBS: apesar de improvável, a suposição de que [tex3]k=2^a\cdot3^b\cdot5^c[/tex3] , poderia resultar em valores impossíveis para [tex3]a[/tex3] , [tex3]b[/tex3] ou [tex3]c[/tex3] . Nesse caso, teríamos que adicionar mais fatores primos, sempre os menores possíveis.




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