Ensino Fundamental ⇒ Trapézio envolvendo semelhança de triângulos Tópico resolvido

[Ana29Carolina]

Na figura abaixo, ABCD é um trapézio com bases AB e CD medindo 30 cm e 18 cm, respectivamente. Os pontos E e F estão nos lados AD e BC de ABCD, respectivamente, sendo que EF é paralelo a AB e DE=5⋅AE. Os pontos G e H estão no lado AB de ABCD, sendo que os segmentos de reta DG e CH são perpendiculares a AB. Os pontos I e J são os pontos de interseção de DG e CH com EF, respectivamente.

A) Mostre que EI = 5/6 AG.

B) Mostre que CF = 5 BF.

C) Calcule a medida do segmento de reta EF.

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[petras]

[tex3]\mathsf{\frac{\overline{EI}}{\overline {AG}}=\frac{5\overline{AE}}{5\overline{AE}+\overline{AE}}=\frac{5\overline{AE}}{6\overline{AE}}\therefore \boxed{\mathsf{\overline{EI}=\frac{5\overline{AG}}{6}c.q.d.}}\\
\frac{\overline{CF}}{5\overline{AE}}=\frac{{\overline{FB}}}{\overline{AE}}\therefore \boxed{\mathsf{\overline{CF}=5\overline{FB}.c.q.d.}} \\
\overline{EF}=\overline{EI}+\overline{IJ}+\overline{JF}=\frac{5\overline{AG}}{6}+18+\overline{JF}\\
\frac{\overline{JF}}{\overline{HB}}=\frac{5\overline{FB}}{6\overline{FB}}\rightarrow \overline{JF}=\frac{5\overline{HB}}{6}\\
\therefore \overline{EF}=\frac{5\overline{AG}}{6}+18+\frac{5\overline{HB}}{6}=\frac{5(\overline{AG}+\overline{HB})}{6}+18\\
\overline{AG}+\overline{HB}=30-18=12\rightarrow \overline{EF}=\frac{5\cdot12}{6}+18\therefore \boxed{\mathsf{\overline{EF}=28cm}}}
[/tex3]

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[tex3]\mathsf{\frac{\overline{EI}}{\overline {AG}}=\frac{5\overline{AE}}{5\overline{AE}+\overline{AE}}=\frac{5\overline{AE}}{6\overline{AE}}\therefore \boxed{\mathsf{\overline{EI}=\frac{5\overline{AG}}{6}c.q.d.}}\\
\frac{\overline{CF}}{5\overline{AE}}=\frac{{\overline{FB}}}{\overline{AE}}\therefore \boxed{\mathsf{\overline{CF}=5\overline{FB}.c.q.d.}} \\
\overline{EF}=\overline{EI}+\overline{IJ}+\overline{JF}=\frac{5\overline{AG}}{6}+18+\overline{JF}\\
\frac{\overline{JF}}{\overline{HB}}=\frac{5\overline{FB}}{6\overline{FB}}\rightarrow \overline{JF}=\frac{5\overline{HB}}{6}\\
\therefore \overline{EF}=\frac{5\overline{AG}}{6}+18+\frac{5\overline{HB}}{6}=\frac{5(\overline{AG}+\overline{HB})}{6}+18\\
\overline{AG}+\overline{HB}=30-18=12\rightarrow \overline{EF}=\frac{5\cdot12}{6}+18\therefore \boxed{\mathsf{\overline{EF}=28cm}}}
[/tex3]