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Ensino Fundamental ⇒ Soma dos inversos=inverso da soma? Tópico resolvido

Problemas sobre assuntos estudados no Ensino Fundamental devem ser postados aqui (exceto problemas de Vestibulares).

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AnthonyC
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Mai 2018 05 16:02

Soma dos inversos=inverso da soma?

Mensagem não lidapor AnthonyC » 05 Mai 2018, 16:02

Mensagem não lida por AnthonyC »

Me fiz essa pergunta e tentei responde-lá, gostaria que analizassem se meu raciocínio está correto. Se estiver errado, gostaria que me apresentassem um raciocínio correto.
Seja:
[tex3]\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2}[/tex3] +...+[tex3]\frac{1}{a_n} = \frac{1}{a_1+a_2+...+a_n}[/tex3] ,[tex3]n\in \mathbb{N*}[/tex3] e [tex3]a_1+a_2+...+a_n=S[/tex3] .
[tex3]\frac{S}{a_1} + \frac{S}{a_2}[/tex3] +...+[tex3]\frac{S}{a_n} = 1[/tex3] (1)
Assim, temos:
[tex3]\frac{S}{a_1} = \frac{a_1+a_2+...+a_n}{a_1}[/tex3]
[tex3]\frac{a_1}{a_1} + \frac{a_2+...+a_n}{a_1}[/tex3]
[tex3]1+\frac{a_2+...+a_n}{a_1}[/tex3]
analogamente:
[tex3]\frac{S}{a_2}=1+\frac{a_1+...+a_n}{a_2}[/tex3]
...
[tex3]\frac{S}{a_n}=1+\frac{a_1+...+a_{n-1}}{a_n}[/tex3]
Substituindo em (1):
[tex3]1+\frac{a_2+...+a_n}{a_1}+1+\frac{a_1+...+a_n}{a_2}+...+1+\frac{a_1+...+a_{n-1}}{a_n}=1[/tex3]
[tex3]n+\left(\frac{a_2}{a_1}+...+\frac{a_n}{a_1}\right)+\left(\frac{a_1}{a_2}+...+\frac{a_n}{a_2}\right)+...+\left(\frac{a_1}{a_n}+...+\frac{a_{n-1}}{a_n}\right)=1[/tex3]
[tex3]n+\left(\frac{a_1}{a_2}+...+\frac{a_1}{a_n}\right)+\left(\frac{a_2}{a_1}+...+\frac{a_2}{a_n}\right)+...+\left(\frac{a_n}{a_1}+...+\frac{a_n}{a_{n-1}}\right)=1[/tex3]
[tex3]n+a_1\left(\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_n}\right)+a_2\left(\frac{1}{a_1}+...+\frac{1}{a_n}\right)+...+a_n\left(\frac{1}{a_1}+...+\frac{1}{a_{n-1}}\right)=1[/tex3]
[tex3]n+a_1\left(\frac{1}{S}-\frac{1}{a_1}\right)+a_2\left(\frac{1}{S}-\frac{1}{a_2}\right)+...+a_n\left(\frac{1}{S}-\frac{1}{a_n}\right)=1[/tex3]
[tex3]n+a_1\left(\frac{a_1-S}{a_1*S}\right)+a_2\left(\frac{a_2-S}{a_2*S}\right)+...+a_n\left(\frac{a_n-S}{a_n*S}\right)=1[/tex3]
[tex3]n+\frac{1}{a_1}\left(\frac{a_1^{2}-a_1*S}{S}\right)+\frac{1}{a_2}\left(\frac{a_2^{2}-a_2*S}{S}\right)+...+\frac{1}{a_n}\left(\frac{a_n^{2}-a_n*S}{S}\right)=1[/tex3] (2)
Também podemos considerar:
[tex3]\frac{S}{a_1} = \frac{a_1+a_2+...+a_n}{a_1}[/tex3]
[tex3]\frac{a_1}{a_1}+\frac{a_2+...+a_n}{a_1}[/tex3]
[tex3]1+\left(S-a_1\right)\frac{1}{a_1}[/tex3]
analogamente:
[tex3]\frac{S}{a_2}=1+\left(S-a_2\right)\frac{1}{a_2}[/tex3]
...
[tex3]\frac{S}{a_n}=1+\left(S-a_n\right)\frac{1}{a_n}[/tex3]
Substituindo em (1)
[tex3]1+\left(S-a_1\right)\frac{1}{a_1}+1+\left(S-a_2\right)\frac{1}{a_2}+...+1+\left(S-a_n\right)\frac{1}{a_n}=1[/tex3]
[tex3]n+\left(S-a_1\right)\frac{1}{a_1}+\left(S-a_2\right)\frac{1}{a_2}+...+\left(S-a_n\right)\frac{1}{a_n}=1[/tex3] (3)
Igualando (2) e (3), temos:
[tex3]n+\frac{1}{a_1}\left(\frac{a_1^{2}-a_1*S}{a_1*S}\right)+\frac{1}{a_2}\left(\frac{a_2^{2}-a_2*S}{a_2*S}\right)+...+\frac{1}{a_n}\left(\frac{a_n^{2}-a_n*S}{a_n*S}\right)=n+\left(S-a_1\right)\frac{1}{a_1}+\left(S-a_2\right)\frac{1}{a_2}+...+\left(S-a_n\right)\frac{1}{a_n}[/tex3]
Comparando os coeficientes de (2) e (3), temos:
[tex3]\frac{a_1^{2}-a_1*S}{S}=S-a_1[/tex3]
[tex3]a_1*\frac{a_1-S}{S}=S-a_1[/tex3]
[tex3]\frac{a_1}{S}=\frac{S-a_1}{a_1-S}[/tex3]
[tex3]\frac{a_1}{S}=-1[/tex3]
[tex3]a_1=-S[/tex3]
analogamente:
[tex3]a_2=-S[/tex3]
...
[tex3]a_n=-S[/tex3]
Substituindo na equação original:
[tex3]-\frac{1}{S}-\frac{1}{S}-...-\frac{1}{S}=\frac{1}{S}[/tex3]
[tex3]n\left(-\frac{1}{S}\right)=\frac{1}{S}[/tex3]
[tex3]n=-1[/tex3]
Porém, como [tex3]n\in \mathbb{N*}[/tex3] , [tex3]n[/tex3] não pode ser igual a [tex3]-1[/tex3] . Como chegamos a um absurdo (supondo que todo o resto esteja certo, a equação [tex3]\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2}[/tex3] +...+[tex3]\frac{1}{a_n} = \frac{1}{a_1+a_2+...+a_n}[/tex3] não possui solução, ou seja, não existe números tal que o inverso de sua soma seja igual a soma de seus inversos.
[tex3]\color{YellowOrange}\textbf{Não importa o quanto se esforce ou evolua, você sempre estará abaixo do Sol}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]
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jedi
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Mai 2018 05 16:48

Re: Soma dos inversos=inverso da soma?

Mensagem não lidapor jedi » 05 Mai 2018, 16:48

Mensagem não lida por jedi »

Bom tarde amigo

O problema esta no momento em que você compara os coeficientes das equações, eles não precisam ser necessariamente iguais para que a equação seja verdadeira

por exemplo

[tex3]2x+3y+4z=2a+3b+4c[/tex3]

então podemos até dizer que a equação é satisfeita se:

[tex3]x=a\\y=b\\z=c[/tex3]

porém essa é apena uma das soluções que equação pode ter
podemos ter por exemplo

[tex3]x=1\\y=2\\z=3[/tex3]

mas

[tex3]a=8\\b=3\\c=2[/tex3]

ou seja

[tex3]x\neq a\\y\neq b\\z\neq c[/tex3]

portanto na sua solução aquela comparação de coeficientes não é necessariamente verdadeira, os coeficientes podem ser diferentes
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