Ensino FundamentalOBMEP - Números Múltiplos

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DeyvisonML
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OBMEP - Números Múltiplos

Mensagem não lida por DeyvisonML »

Isabel escreveu em seu caderno o maior número de três algarismos que é múltiplo de 13. Qual é a soma dos algarismos do número que ela escreveu?
A) 23
B) 24
C) 25
D) 26
E) 27
Resposta

Gabarito: C
Off Topic
Eu já resolvi esta questão através de divisão com resultado diferente de 0, mas eu gostaria de encontrar uma forma mais simples e rápida.
Obrigado!




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csmarcelo
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Abr 2018 25 12:15

Re: OBMEP - Números Múltiplos

Mensagem não lida por csmarcelo »

Acredito que o método mais simples seja dividir 1000 por 13 e verificar o resto. Foi assim que você fez?




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DeyvisonML
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Re: OBMEP - Números Múltiplos

Mensagem não lida por DeyvisonML »

Olá, csmarcelo.
Sim, foi desse jeito. Porém, o conceito é 13xQualquerNúmero = Múltiplo de 13. Como a pergunta quer um múltiplo de 3 algarismos cuja soma deles dê 25, eu fiquei tentando imaginar uma solução utilizando o conceito. Algo do tipo: 13.X = abc (múltiplo); sendo a + b + c = 25.
Mas obrigado por tentar ajudar. :D
Última edição: DeyvisonML (Qua 25 Abr, 2018 13:03). Total de 1 vez.



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csmarcelo
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Re: OBMEP - Números Múltiplos

Mensagem não lida por csmarcelo »

Não é porque o enunciado fala em múltiplo que você precisa se limitar a algum raciocínio diretamente relacionado a isso. Além disso, você pediu a forma mais simples e rápida. :mrgreen:

Dá pra resolver com essa ideia de fazer [tex3]a+b+c=25[/tex3] , mas é bem menos simples.

Seja [tex3]N=abc[/tex3] , [tex3]a[/tex3] , [tex3]b[/tex3] e [tex3]c[/tex3] algarismos, o múltiplo que procuramos.

[tex3]a[/tex3] , obviamente, é igual a 9. Daí, [tex3]b+c=16\rightarrow b=16-c[/tex3] .

Existe um critério de divisibilidade por 13 que diz que um número é divisível por 13 se o quádruplo do algarismo da unidade mais esse número sem esse algarismo também o é. E você pode repetir esse processo até chegar em um número que seja conveniente.

Assim, se [tex3]13|90+b+4c[/tex3] então [tex3]13|90+(16-c)+4c\rightarrow13|106+3c[/tex3] .

106 é 2 unidades maior que o maior múltiplo de 13 menor que ele, a saber, 104. Logo, [tex3]3c[/tex3] deve ser 2 unidades menor que o menor múltiplo de 13 maior que ele.

Como [tex3]c[/tex3] é um algarismo, [tex3]3c\in\{0,3,9,12,15,18,21,24,27\}[/tex3] .

Como [tex3]3c[/tex3] é 2 unidades menor que o menor múltiplo de 13 maior que ele e, no intervalo [tex3][0,30][/tex3] os múltiplos de 13 são 13 e 26, [tex3]3c=24\rightarrow c=8\rightarrow b=8[/tex3] .
Última edição: csmarcelo (Qui 26 Abr, 2018 07:40). Total de 2 vezes.



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DeyvisonML
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Re: OBMEP - Números Múltiplos

Mensagem não lida por DeyvisonML »

csmarcelo, muito obrigado!
Como eu sempre estou revendo assuntos de matemática através de livros, eu gosto de resolver os exercícios de acordo com a matéria que eu estou revendo :D .




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