218. Demonstre que a área de um triângulo é o quádruplo da área do triângulo cujos vértices são os pontos médios de seus lados.
Fonte: Fundamentos de Matemática Elementar 7 - Geometria Analítica - 6ª edição - Questão 218
Vou mostrar como fiz até agora até a parte em que empaquei, agradeço quem puder me ajudar a terminar o problema:
[tex3]A(x_{a},y_{a}) , B(x_{b},y_{b}), C(x_{c},y_{c}) [/tex3]
[tex3]M_{AC}(\frac{x_{a}+x_{c}}{2},\frac{y_{a}+y_{c}}{2}), M_{BC}(\frac{x_{b}+x_{c}}{2},\frac{y_{b}+y_{c}}{2}), M_{AB}(\frac{x_{a}+x_{b}}{2},\frac{y_{a}+y_{b}}{2}) [/tex3]
Calculando a área do triângulo ABC encontrei:[tex3]\frac{x_{a}(y_{b}-y_{c})+x_{b}(y_{c}-y_{a})+x_{c}(y_{a}-y_{b})}{2}[/tex3]
E calculando a área do triângulo EDF (o triângulo cujos vértices são os pontos médios dos clados, e efetuando algumas simplificações e arrumações cheguei no seguinte:
[tex3]\frac{(x_{a}+x_{c})(y_{c}-y_{a})+(x_{a}+x_{b})(y_{a}-y_{b})+(x_{b}+x_{c})(y_{b}-y_{c})}{4}[/tex3]
e daí não conseguir sair mais.
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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)Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
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Ensino Fundamental ⇒ Demonstração de áreas de triângulos - Geometria Analítica - Dúvida Tópico resolvido
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Abr 2018
06
19:48
Re: Demonstração de áreas de triângulos - Geometria Analítica - Dúvida
[tex3]\mathsf{\text{Faça a base(AB) coincidir com o eixo x e o vértice da base interior esquerda(A) coincidir com a origem}\\
A (0.0), B(a,0) ~e~C(b,c)\\
M = \frac{AB}{2}=(\frac{a}{2},0)\rightarrow N = \frac{BC}{2}=(\frac{a+b}{2},\frac{c}{2})\rightarrow O=\frac{AC}{2}=(\frac{b}{2},\frac{c}{2})\\
Área =\frac{1}{2}|D_{AMC}|=\begin{vmatrix}
0 & 0 & 1 \\
\frac{a}{2} & 0 & 1 \\
b & c & 1 \\
\end{vmatrix}=\frac{ac}{4}\\
\frac{1}{2}|D_{BMC}|=\begin{vmatrix}
a & 0 & 1 \\
\frac{a}{2} & 0 & 1 \\
b & c & 1 \\
\end{vmatrix}=|-\frac{ac}{4}|=\frac{ac}{4}\\
\therefore \boxed{S_{AMC}=S_{BMC} = \frac{ac}{4}~c.q.d}}[/tex3]
A (0.0), B(a,0) ~e~C(b,c)\\
M = \frac{AB}{2}=(\frac{a}{2},0)\rightarrow N = \frac{BC}{2}=(\frac{a+b}{2},\frac{c}{2})\rightarrow O=\frac{AC}{2}=(\frac{b}{2},\frac{c}{2})\\
Área =\frac{1}{2}|D_{AMC}|=\begin{vmatrix}
0 & 0 & 1 \\
\frac{a}{2} & 0 & 1 \\
b & c & 1 \\
\end{vmatrix}=\frac{ac}{4}\\
\frac{1}{2}|D_{BMC}|=\begin{vmatrix}
a & 0 & 1 \\
\frac{a}{2} & 0 & 1 \\
b & c & 1 \\
\end{vmatrix}=|-\frac{ac}{4}|=\frac{ac}{4}\\
\therefore \boxed{S_{AMC}=S_{BMC} = \frac{ac}{4}~c.q.d}}[/tex3]
