Ensino Fundamental ⇒ Demonstração de áreas de triângulos - Geometria Analítica - Dúvida Tópico resolvido

[renanrop1]

218. Demonstre que a área de um triângulo é o quádruplo da área do triângulo cujos vértices são os pontos médios de seus lados.
Fonte: Fundamentos de Matemática Elementar 7 - Geometria Analítica - 6ª edição - Questão 218

Vou mostrar como fiz até agora até a parte em que empaquei, agradeço quem puder me ajudar a terminar o problema:

[tex3]A(x_{a},y_{a}) , B(x_{b},y_{b}), C(x_{c},y_{c}) [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A(x_{a},y_{a}) , B(x_{b},y_{b}), C(x_{c},y_{c}) [/tex3]

[tex3]M_{AC}(\frac{x_{a}+x_{c}}{2},\frac{y_{a}+y_{c}}{2}), M_{BC}(\frac{x_{b}+x_{c}}{2},\frac{y_{b}+y_{c}}{2}), M_{AB}(\frac{x_{a}+x_{b}}{2},\frac{y_{a}+y_{b}}{2}) [/tex3]

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[tex3]M_{AC}(\frac{x_{a}+x_{c}}{2},\frac{y_{a}+y_{c}}{2}), M_{BC}(\frac{x_{b}+x_{c}}{2},\frac{y_{b}+y_{c}}{2}), M_{AB}(\frac{x_{a}+x_{b}}{2},\frac{y_{a}+y_{b}}{2}) [/tex3]

Calculando a área do triângulo ABC encontrei:[tex3]\frac{x_{a}(y_{b}-y_{c})+x_{b}(y_{c}-y_{a})+x_{c}(y_{a}-y_{b})}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{x_{a}(y_{b}-y_{c})+x_{b}(y_{c}-y_{a})+x_{c}(y_{a}-y_{b})}{2}[/tex3]

E calculando a área do triângulo EDF (o triângulo cujos vértices são os pontos médios dos clados, e efetuando algumas simplificações e arrumações cheguei no seguinte:
[tex3]\frac{(x_{a}+x_{c})(y_{c}-y_{a})+(x_{a}+x_{b})(y_{a}-y_{b})+(x_{b}+x_{c})(y_{b}-y_{c})}{4}[/tex3]

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[tex3]\frac{(x_{a}+x_{c})(y_{c}-y_{a})+(x_{a}+x_{b})(y_{a}-y_{b})+(x_{b}+x_{c})(y_{b}-y_{c})}{4}[/tex3]

e daí não conseguir sair mais.

[petras]

[tex3]\mathsf{\text{Faça a base(AB) coincidir com o eixo x e o vértice da base interior esquerda(A) coincidir com a origem}\\
A (0.0), B(a,0) ~e~C(b,c)\\
M = \frac{AB}{2}=(\frac{a}{2},0)\rightarrow N = \frac{BC}{2}=(\frac{a+b}{2},\frac{c}{2})\rightarrow O=\frac{AC}{2}=(\frac{b}{2},\frac{c}{2})\\
Área =\frac{1}{2}|D_{AMC}|=\begin{vmatrix}
0 & 0 & 1 \\
\frac{a}{2} & 0 & 1 \\
b & c & 1 \\
\end{vmatrix}=\frac{ac}{4}\\
\frac{1}{2}|D_{BMC}|=\begin{vmatrix}
a & 0 & 1 \\
\frac{a}{2} & 0 & 1 \\
b & c & 1 \\
\end{vmatrix}=|-\frac{ac}{4}|=\frac{ac}{4}\\
\therefore \boxed{S_{AMC}=S_{BMC} = \frac{ac}{4}~c.q.d}}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{\text{Faça a base(AB) coincidir com o eixo x e o vértice da base interior esquerda(A) coincidir com a origem}\\
A (0.0), B(a,0) ~e~C(b,c)\\
M = \frac{AB}{2}=(\frac{a}{2},0)\rightarrow N = \frac{BC}{2}=(\frac{a+b}{2},\frac{c}{2})\rightarrow O=\frac{AC}{2}=(\frac{b}{2},\frac{c}{2})\\
Área =\frac{1}{2}|D_{AMC}|=\begin{vmatrix}
0 & 0 & 1 \\
\frac{a}{2} & 0 & 1 \\
b & c & 1 \\
\end{vmatrix}=\frac{ac}{4}\\
\frac{1}{2}|D_{BMC}|=\begin{vmatrix}
a & 0 & 1 \\
\frac{a}{2} & 0 & 1 \\
b & c & 1 \\
\end{vmatrix}=|-\frac{ac}{4}|=\frac{ac}{4}\\
\therefore \boxed{S_{AMC}=S_{BMC} = \frac{ac}{4}~c.q.d}}[/tex3]