Ensino Fundamental

cicero444 · Mensagem não lida por **cicero444** » 12 Mar 2018, 19:41

Num triângulo ABC, os pontos K e L estão sobre os lados congruentes AB e BC , respectivamente, de modo que AK= KL= LB e KB = AC . Qual é a medida do ângulo ABC ?

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(A) 36º
(B) 38º
(C) 40º
(D) 42º
(E) 44º

Segundo o enunciado:

[tex3]AK=LB=KL=y[/tex3]
[tex3]AC=KB=z[/tex3]

Como [tex3]LB=KL[/tex3] , segue que o triângulo [tex3]KLB[/tex3] é isósceles e portanto [tex3]L\hat BK= B\hat KL[/tex3] .

Sabe-se também que a soma de dois ângulos internos de um triângulo é igual ao ângulo externo oposto. Logo:

[tex3]K\hat LC=2\alpha[/tex3]

Como [tex3]AB=BC\implies AK+KB=LB+CL\implies y+z = y +CL \implies \boxed{\boxed{CL=z}}[/tex3]
Dividinda o quadrilátero [tex3]LKAC[/tex3] em dois triângulos , tracando o segmento de reta [tex3]KC[/tex3] .

Analisando os triângulos [tex3]KLC[/tex3] e [tex3]AKC[/tex3] , temos :

[tex3]AK=KL=y[/tex3]
[tex3]AC=CL= z[/tex3]
[tex3]KC[/tex3] é comum

Assim, os triângulos [tex3]KLC[/tex3] e [tex3]AKC[/tex3] são congruentes pelo caso [tex3](L.L.L)[/tex3]
Dessa forma [tex3]K\hat AC= K\hat LC = 2\alpha[/tex3]

Como [tex3]ABC[/tex3] é isósceles :

[tex3]K\hat AC= A\hat CL= 2\alpha[/tex3]

Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é [tex3]180º[/tex3] :

[tex3]2\alpha + 2\alpha +\alpha= 180º \implies 5\alpha=180º \implies \alpha= 36º[/tex3]

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