Ensino Fundamental ⇒ Divisibilidade - Revista Parábola

[quevedo]

Quando 31.513 e 34.469 são divididos por um determinado número de três algarismos, o resto da divisão é o mesmo. Encontre este resto.

Resposta

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R: 97

[Ittalo25]

Então o número divide a diferença: [tex3]34469 - 31513 = 2956 = 2^2 \cdot 739 [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]34469 - 31513 = 2956 = 2^2 \cdot 739 [/tex3]

Ou seja, o número é 739:

[tex3]\begin{cases}
31513=42 \cdot 739 + 475 \\
34469=46 \cdot 739 + 475
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}
31513=42 \cdot 739 + 475 \\
34469=46 \cdot 739 + 475
\end{cases}[/tex3]

O resto é 475.

[quevedo]

Então o número divide a diferença: [tex3]34469 - 31513 = 2956 = 2^2 \cdot 739 [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]34469 - 31513 = 2956 = 2^2 \cdot 739 [/tex3]

Ou seja, o número é 739:

[tex3]\begin{cases}
31513=42 \cdot 739 + 475 \\
34469=46 \cdot 739 + 475
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}
31513=42 \cdot 739 + 475 \\
34469=46 \cdot 739 + 475
\end{cases}[/tex3]

O resto é 475.

Desculpe o erro, no enunciado troquei o número era pra ser 34369 no lugar de 34469.

D qqr forma a minha dúvida quando se coloca esse número é que, no caso de ser feita essa correção, ficaríamos com 34369 - 31513 = 2856
que possui muitos fatores de 3 algarismos, por exemplo: 102, 357, etc.
Como provar ou concluir que qualquer fator de 3 algarismos que eu formar dos fatores de 2856 dará o mesmo resto quando dividido por 31513 e 34369?

[Ittalo25]

Agora o problema ficou interessante.
Não testei todos mas parece que qualquer número de 3 algarismos dá o mesmo resto.
Não consegui desenvolver um raciocínio sobre isso ainda, mas acredito que tenha alguma coisa a ver com o número de algarismos dos números.
Se eu pensar em alguma coisa coloco aqui.