Ensino Fundamental ⇒ Raízes negativas Tópico resolvido

[WagnerMachado]

Quantas raízes negativas possui a equação [tex3]x^4-5x^3-4x^2-7x+4=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^4-5x^3-4x^2-7x+4=0[/tex3]

?

Não possuo gabarito

---

[jvmago]

Essa equação tem muito o jeito de [tex3](a+b+c)^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](a+b+c)^2[/tex3]

.

[jvmago]

Pelo produto das raízes podemos afirmar que há 2 ou 4 raízes negativas.

Pela soma das raízes temos confirmação de que são 2 negativas e que as outras duas são positivas e maiores que as negativas.

[jvmago]

Agora com mais calma vou melhorar a resposta.

Seja [tex3]p(x)=x^4-5x^3-4x^2-7x+4[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]p(x)=x^4-5x^3-4x^2-7x+4[/tex3]

e [tex3]x1,x2,x3,x4[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x1,x2,x3,x4[/tex3]

as raízes desse polinômio analisemos por girard:

[tex3]\begin{cases}
x1+x2+x3+x4=5 \\
x1*x2+x1*x,3+x1*x4+x2*x2+x2*x4+x3*x4=-4 \\
x1*x2*x3+x1*x2*x4+x1*x3*x4+x2*x3*x4=7 \\
x1*x2*x3*x4=(-1)^4*4
\end{cases}[/tex3]

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[tex3]\begin{cases}
x1+x2+x3+x4=5 \\
x1*x2+x1*x,3+x1*x4+x2*x2+x2*x4+x3*x4=-4 \\
x1*x2*x3+x1*x2*x4+x1*x3*x4+x2*x3*x4=7 \\
x1*x2*x3*x4=(-1)^4*4
\end{cases}[/tex3]

Observando o produto das raízes temos 4 raízes negativa [tex3](1)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](1)[/tex3]

ou apenas duas raízes negativas [tex3](2)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](2)[/tex3]

.

Observando agora a soma das raízes e levando em consideração a hipótese [tex3](1)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](1)[/tex3]

temos uma afirmação incorreta pois a soma é positiva.
Observando agora a soma das raízes e levando em consideração a hipótese [tex3](2)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](2)[/tex3]

temos a confirmação da existência de 2 raízes negativas e também de duas positivas maiores que elas pois a soma resulta em um número positivo

[Ittalo25]

jvmago, é preciso também levar em consideração as raízes complexas, que não são negativas nem positivas, mas somadas ou multiplicadas podem dar resultados positivos ou negativos.

[WagnerMachado]

Boa noite, estarei deixando a resolução do livro. Nenhuma das afirmações acima estão corretas(levando em consideração a resolução do livro).

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[jvmago]

Saberia explicar melhor como é deduzido essa afirmação? nunca vi esse tipo de análise

[WagnerMachado]

Saberia explicar melhor como é deduzido essa afirmação? nunca vi esse tipo de análise

Quando postei essa questão eu não tinha a resolução, por isso vim postar aqui para obter ajuda. Depois que eu vi o livro inteiro e percebi que tinha gabarito comentado, eu também não tinha entendido a resolução do livro..

[WagnerMachado]

Agora com mais calma vou melhorar a resposta.

Seja [tex3]p(x)=x^4-5x^3-4x^2-7x+4[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]p(x)=x^4-5x^3-4x^2-7x+4[/tex3]

e [tex3]x1,x2,x3,x4[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x1,x2,x3,x4[/tex3]

as raízes desse polinômio analisemos por girard:

[tex3]\begin{cases}
x1+x2+x3+x4=5 \\
x1*x2+x1*x,3+x1*x4+x2*x2+x2*x4+x3*x4=-4 \\
x1*x2*x3+x1*x2*x4+x1*x3*x4+x2*x3*x4=7 \\
x1*x2*x3*x4=(-1)^4*4
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}
x1+x2+x3+x4=5 \\
x1*x2+x1*x,3+x1*x4+x2*x2+x2*x4+x3*x4=-4 \\
x1*x2*x3+x1*x2*x4+x1*x3*x4+x2*x3*x4=7 \\
x1*x2*x3*x4=(-1)^4*4
\end{cases}[/tex3]

Observando o produto das raízes temos 4 raízes negativa [tex3](1)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](1)[/tex3]

ou apenas duas raízes negativas [tex3](2)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](2)[/tex3]

.

Observando agora a soma das raízes e levando em consideração a hipótese [tex3](1)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](1)[/tex3]

temos uma afirmação incorreta pois a soma é positiva.
Observando agora a soma das raízes e levando em consideração a hipótese [tex3](2)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](2)[/tex3]

temos a confirmação da existência de 2 raízes negativas e também de duas positivas maiores que elas pois a soma resulta em um número positivo

Acho que o gabarito do livro está errado. Se eu aplicar o teorema de Descartes no polinômio original, encontrar-se-á 2 raízes positivas como foi dito por você e consequentemente, 2 raízes negativas. Marcarei sua mensagem como resolução. Obrigado!

[Ittalo25]

[tex3](x^2-2)^2 = 5x^3+7x [/tex3]

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[tex3](x^2-2)^2 = 5x^3+7x [/tex3]

se x é negativo, então o lado direito é negativo

mas [tex3](x^2-2)^2 \geq 0 [/tex3]

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[tex3](x^2-2)^2 \geq 0 [/tex3]

ou seja, o lado direito nunca seria igual ao esquerdo.

Ficou mais claro agora?