r.: [tex3]\sqrt{\frac{a^{3}+b^{3}}{3(a+b)}}[/tex3]
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Ensino Fundamental ⇒ Hexágono Regular Tópico resolvido
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Flavio2020 
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Jan 2018
13
20:02
Hexágono Regular
Na figura, temos dois e hexágonos regulares; se PM=a e PQ=b. Calcular MN.
r.: [tex3]\sqrt{\frac{a^{3}+b^{3}}{3(a+b)}}[/tex3]
r.: [tex3]\sqrt{\frac{a^{3}+b^{3}}{3(a+b)}}[/tex3]
Nov 2018
06
20:41
Re: Hexágono Regular
Antes de mais nada quero deixar claro minha raiva pela Racso!
O problema consiste em demonstrar que [tex3]P[/tex3] pertence a circunfência circunscrita ao hexágono maior e ao hexágono menor coisa que eu não tenho a menor idéia de como deva ser feito (Provavelmente esse sej o pulo do gato!!) Tendo isso em vista vamos ao problema
Trace [tex3]PN=k[/tex3] e teremos:
[tex3]MpN=NpQ=30º[/tex3] e [tex3]MN=NQ=x[/tex3] aplicando a lei dos cossenos nesses dois triangulos temos:
[tex3]x^2=a^2+k^2-ak\sqrt{3}[/tex3] e [tex3]x^2=k^2+b^2-bk\sqrt{3}[/tex3]
Fazendo a segunda menos a primeira temos:
[tex3]0=a^2-b^2+k\sqrt{3}(b-a)[/tex3] supondo [tex3]b-a>0[/tex3] TEMOS:
[tex3]k=\frac{a+b}{\sqrt{3}}[/tex3] jogando na primeira equação
[tex3]x^2=a^2+\frac{a^2+2ab+b^2}{3}-a\sqrt{3}\frac{(a+b)}{\sqrt{3}}[/tex3] simplificando isso temos:
[tex3]x^2=a^2+\frac{a^2+2ab+b^2}{3}-a^2-ab[/tex3]
[tex3]x^2=\frac{a^2+2ab-3ab+b^2}{3}[/tex3]
[tex3]x^2=\frac{a^2-ab+b^2}{3}[/tex3] completando cubos!
[tex3]x^2=\frac{(a^2-ab+b^2)(a+b)}{3(a+b)}[/tex3]
[tex3]x=\sqrt{\frac{a^3+b^3}{3(a+b)}}[/tex3]
Isso sim é uma pimbada!
O problema consiste em demonstrar que [tex3]P[/tex3] pertence a circunfência circunscrita ao hexágono maior e ao hexágono menor coisa que eu não tenho a menor idéia de como deva ser feito (Provavelmente esse sej o pulo do gato!!) Tendo isso em vista vamos ao problema
Trace [tex3]PN=k[/tex3] e teremos:
[tex3]MpN=NpQ=30º[/tex3] e [tex3]MN=NQ=x[/tex3] aplicando a lei dos cossenos nesses dois triangulos temos:
[tex3]x^2=a^2+k^2-ak\sqrt{3}[/tex3] e [tex3]x^2=k^2+b^2-bk\sqrt{3}[/tex3]
Fazendo a segunda menos a primeira temos:
[tex3]0=a^2-b^2+k\sqrt{3}(b-a)[/tex3] supondo [tex3]b-a>0[/tex3] TEMOS:
[tex3]k=\frac{a+b}{\sqrt{3}}[/tex3] jogando na primeira equação
[tex3]x^2=a^2+\frac{a^2+2ab+b^2}{3}-a\sqrt{3}\frac{(a+b)}{\sqrt{3}}[/tex3] simplificando isso temos:
[tex3]x^2=a^2+\frac{a^2+2ab+b^2}{3}-a^2-ab[/tex3]
[tex3]x^2=\frac{a^2+2ab-3ab+b^2}{3}[/tex3]
[tex3]x^2=\frac{a^2-ab+b^2}{3}[/tex3] completando cubos!
[tex3]x^2=\frac{(a^2-ab+b^2)(a+b)}{3(a+b)}[/tex3]
[tex3]x=\sqrt{\frac{a^3+b^3}{3(a+b)}}[/tex3]
Isso sim é uma pimbada!
Última edição: jvmago (Ter 06 Nov, 2018 20:42). Total de 1 vez.
Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.
Nov 2018
06
20:43
Re: Hexágono Regular
Convoco nesse momento o deus do Geogebra sousóeu, ajuda o coleguinha aí
Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.
-
Auto Excluído (ID:12031)
- Última visita: 31-12-69
Nov 2018
08
20:04
Re: Hexágono Regular
Seja [tex3]C[/tex3]
o vértice em comum aos dois hexágonos, [tex3]I[/tex3]
o vértice no hexágono menor contido na reta [tex3]MP[/tex3]
,[tex3]X[/tex3]
o encontro dos circuncírculos dos hexágonos (esse encontro existe pois C é um dos encontros, só há um encontro quando os centros dos hexágonos forem alinhados):
[tex3]\angle CXM + \angle IXC = 180[/tex3] então [tex3]M,X,I[/tex3] são alinhados
analogamente [tex3]Q,X, Q'[/tex3] ([tex3]Q'[/tex3] o vértice do hexágono menor na reta [tex3]QP[/tex3] ) são colineares.
Logo [tex3]X=P[/tex3] e [tex3]P[/tex3] está no circuncírculo dos dois hexágonos. Logo [tex3]\angle MPQ = 180 -120 = 60[/tex3]
uma simples lei dos cossenos nesse triângulo dá o resultado.
Se os centros forem alinhados acho que os hexágonos serão paralelos, e o ângulo MCQ = 60 de qualquer forma
[tex3]\angle CXM + \angle IXC = 180[/tex3] então [tex3]M,X,I[/tex3] são alinhados
analogamente [tex3]Q,X, Q'[/tex3] ([tex3]Q'[/tex3] o vértice do hexágono menor na reta [tex3]QP[/tex3] ) são colineares.
Logo [tex3]X=P[/tex3] e [tex3]P[/tex3] está no circuncírculo dos dois hexágonos. Logo [tex3]\angle MPQ = 180 -120 = 60[/tex3]
uma simples lei dos cossenos nesse triângulo dá o resultado.
Se os centros forem alinhados acho que os hexágonos serão paralelos, e o ângulo MCQ = 60 de qualquer forma
Última edição: Auto Excluído (ID:12031) (Qui 08 Nov, 2018 20:13). Total de 3 vezes.
Nov 2018
08
20:05
Re: Hexágono Regular
Bem jogado!!!sousóeu escreveu: ↑Qui 08 Nov, 2018 20:04Seja [tex3]C[/tex3] o vértice em comum aos dois hexágonos, [tex3]I[/tex3] o vértice no hexágono menor contido à [tex3]MP[/tex3] ,[tex3]X[/tex3] o encontro dos circuncírculos dos hexágonos:
[tex3]\angle CXM + \angle IXC = 180[/tex3] então [tex3]M,X,I[/tex3] são alinhados
analogamente [tex3]Q,X, Q'[/tex3] ([tex3]Q'[/tex3] o vértice do hexágono menor na reta [tex3]QP[/tex3] ) são colineares.
Logo [tex3]X=P[/tex3] e [tex3]P[/tex3] está no circuncírculo dos dois hexágonos. Logo [tex3]\angle MPQ = 180 -120 = 60[/tex3]
uma simples lei dos cossenos nesse triângulo dá o resultado.
Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.
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