Tem-se [tex3]x^{x^{3}} = \frac{1}{\sqrt[6]{2}}[/tex3]
, determine o valor de [tex3]x^{6}[/tex3]
.
a)[tex3]\frac{1}{4}[/tex3]
b)4
c)[tex3]\frac{1}{8}[/tex3]
d)[tex3]\frac{1}{2}[/tex3]
e)2
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
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Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Ensino Fundamental ⇒ Algebra
Moderador: [ Moderadores TTB ]
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Auto Excluído (ID:12031)
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Dez 2017
21
15:21
Re: Algebra
tire o log na base dois dos dois lados
[tex3]x^3 \log(x) = -\frac16[/tex3]
queremos [tex3]f(x) = x^3 \log(x) + \frac16 = 0[/tex3]
use as alternativas:
para x=1 teremos [tex3]f(1) >0[/tex3] e f é crescente depois de x=1, logo x<1
para x= 1/2 teremos [tex3]f(\frac12) = -\frac18 + \frac16 >0[/tex3] ,
[tex3]x = \frac14 \implies f(x) = \frac{1}{64} \cdot -2 + \frac{1}{6} >0[/tex3]
fácil ver x=1/8 também não resolve. Logo não há resposta.
[tex3]f(x) = x^3\log_2(x) + \frac16 \implies f'(x) = 3x^2\log_2(x) + x^2\frac 1{\ln2}[/tex3]
[tex3]3\log_2(x) + \frac{1}{\ln2} = 0 \implies f'(x) = 0[/tex3]
[tex3]\log_2(x) = -\frac1{3 \ln 2}[/tex3]
[tex3]x = 2^{-\frac1{3\ln2}} = \frac1{\sqrt[3] e}[/tex3]
o valor mínimo da função: [tex3]x^3\log_2(x)[/tex3] é perto de 0,53 logo f(x) nunca vale zero e não existe x real positivo tal que [tex3]x^{x^3} = \frac1{\sqrt[6]2}[/tex3]
de fato http://www.wolframalpha.com/input/?i=min+x%5E(x%5E3)
[tex3]x^3 \log(x) = -\frac16[/tex3]
queremos [tex3]f(x) = x^3 \log(x) + \frac16 = 0[/tex3]
use as alternativas:
para x=1 teremos [tex3]f(1) >0[/tex3] e f é crescente depois de x=1, logo x<1
para x= 1/2 teremos [tex3]f(\frac12) = -\frac18 + \frac16 >0[/tex3] ,
[tex3]x = \frac14 \implies f(x) = \frac{1}{64} \cdot -2 + \frac{1}{6} >0[/tex3]
fácil ver x=1/8 também não resolve. Logo não há resposta.
[tex3]f(x) = x^3\log_2(x) + \frac16 \implies f'(x) = 3x^2\log_2(x) + x^2\frac 1{\ln2}[/tex3]
[tex3]3\log_2(x) + \frac{1}{\ln2} = 0 \implies f'(x) = 0[/tex3]
[tex3]\log_2(x) = -\frac1{3 \ln 2}[/tex3]
[tex3]x = 2^{-\frac1{3\ln2}} = \frac1{\sqrt[3] e}[/tex3]
o valor mínimo da função: [tex3]x^3\log_2(x)[/tex3] é perto de 0,53 logo f(x) nunca vale zero e não existe x real positivo tal que [tex3]x^{x^3} = \frac1{\sqrt[6]2}[/tex3]
de fato http://www.wolframalpha.com/input/?i=min+x%5E(x%5E3)
Editado pela última vez por Auto Excluído (ID:12031) em 21 Dez 2017, 15:24, em um total de 1 vez.
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Superaks
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Dez 2017
21
16:46
Re: Algebra
Faca y = x³
x^y = (1/2)^(1/6)
Mas x = y^(1/3)
y^(y/3) = (1/2)^(1/6)
Eleve ambos os lados ao cubo
y^y = (1/2)^(1/2)
y = 1/2
Logo, x^6 = y² = 1/4
x^y = (1/2)^(1/6)
Mas x = y^(1/3)
y^(y/3) = (1/2)^(1/6)
Eleve ambos os lados ao cubo
y^y = (1/2)^(1/2)
y = 1/2
Logo, x^6 = y² = 1/4
Editado pela última vez por Superaks em 21 Dez 2017, 16:49, em um total de 2 vezes.
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alevini98
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Dez 2017
21
18:17
Re: Algebra
Mas se [tex3]\frac{1}{\sqrt[3]{e}}[/tex3] é o valor mínimo de [tex3]x^{x^3}[/tex3] , sendo ele menor do que [tex3]\frac{1}{\sqrt[6]{2}}[/tex3] , a função tem que passar por esse valor em algum momento, não?sousóeu escreveu: ↑21 Dez 2017, 15:21 o valor mínimo da função: [tex3]x^3\log_2(x)[/tex3] é perto de 0,53 logo f(x) nunca vale zero e não existe x real positivo tal que [tex3]x^{x^3} = \frac1{\sqrt[6]2}[/tex3]
de fato http://www.wolframalpha.com/input/?i=min+x%5E(x%5E3)
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Auto Excluído (ID:12031)
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Dez 2017
21
20:02
Re: Algebra
o x da função que dá o valor mínimo é [tex3]x = \frac1{\sqrt[3] e}[/tex3] mas de resto você tem razão eu cometi algum erro banal e não percebi que [tex3]2^{-\frac16}[/tex3] passava pela imagem da função. Obrigado por não acreditar no que eu escrevi hahahahaha e principalmente obrigado ao superaksalevini98 escreveu: ↑21 Dez 2017, 18:17Mas se [tex3]\frac{1}{\sqrt[3]{e}}[/tex3] é o valor mínimo de [tex3]x^{x^3}[/tex3] , sendo ele menor do que [tex3]\frac{1}{\sqrt[6]{2}}[/tex3] , a função tem que passar por esse valor em algum momento, não?sousóeu escreveu: ↑21 Dez 2017, 15:21 o valor mínimo da função: [tex3]x^3\log_2(x)[/tex3] é perto de 0,53 logo f(x) nunca vale zero e não existe x real positivo tal que [tex3]x^{x^3} = \frac1{\sqrt[6]2}[/tex3]
de fato http://www.wolframalpha.com/input/?i=min+x%5E(x%5E3)
Editado pela última vez por Auto Excluído (ID:12031) em 21 Dez 2017, 20:03, em um total de 1 vez.
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alevini98
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Dez 2017
21
20:19
Re: Algebra
Não é que eu não acreditei 
. Mas vi que você provou que a função passa pelo valor dado, mas talvez tenha confundido no final. A primeira vez que li eu achei certo o que fez, mas ai vi a resposta do Superaks e queria ver o que tinha de diferente na sua. Talvez (não sei) tenha se confundido na fração ali do mínimo, também achei que fosse maior mesmo, mas esqueci que fração inverte.
[tex3]a>b\\\frac{1}{a}<\frac{1}{b}[/tex3]
. Mas vi que você provou que a função passa pelo valor dado, mas talvez tenha confundido no final. A primeira vez que li eu achei certo o que fez, mas ai vi a resposta do Superaks e queria ver o que tinha de diferente na sua. Talvez (não sei) tenha se confundido na fração ali do mínimo, também achei que fosse maior mesmo, mas esqueci que fração inverte.[tex3]a>b\\\frac{1}{a}<\frac{1}{b}[/tex3]
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