Ensino Fundamental ⇒ Calcular Tópico resolvido

[botelho]

Se a+b=1; ab=1. Calcule o valor reduzido de E. E=[tex3]a^{2048} + b^{2048} + \frac{1}{a^{2048}} + \frac{1}{b^{2048}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a^{2048} + b^{2048} + \frac{1}{a^{2048}} + \frac{1}{b^{2048}}[/tex3]

a)-2
b)-1
c)0
d)1
e)2

[jomatlove]

Resolução:
Sejam a e b raízes de uma equação do 2° grau,logo:
[tex3]x^{2}-(a+b)x+ab=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^{2}-(a+b)x+ab=0[/tex3]

[tex3]x^{2}-x+1=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^{2}-x+1=0[/tex3]

[tex3]x^{2}+1=x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^{2}+1=x[/tex3]

[tex3]x+\frac{1}{x}=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x+\frac{1}{x}=1[/tex3]

Elevando ao quadrado:
[tex3](x+\frac{1}{x})^{2}=1^{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](x+\frac{1}{x})^{2}=1^{2}[/tex3]

[tex3]x^{2}+2.\cancel{x}.\frac{1}{\cancel{x}}+\frac{1}{x^{2}}=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^{2}+2.\cancel{x}.\frac{1}{\cancel{x}}+\frac{1}{x^{2}}=1[/tex3]

[tex3]x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=-1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=-1[/tex3]

De novo ao quadrado:
[tex3]x^{4}+2+\frac{1}{x^{4}}=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^{4}+2+\frac{1}{x^{4}}=1[/tex3]

[tex3]x^{4}+\frac{1}{x^{4}}=-1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^{4}+\frac{1}{x^{4}}=-1[/tex3]

Assim,concluímos que para todo [tex3]n=2^{k}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]n=2^{k}[/tex3]

,k pertencente ao naturais e [tex3]k\geq 2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]k\geq 2[/tex3]

[tex3]x^{n}+\frac{1}{x^{n}}=-1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^{n}+\frac{1}{x^{n}}=-1[/tex3]

Daí,resulta:
[tex3]E=(a^{2048}+\frac{1}{a^{2048}})+(b^{2048}+\frac{1}{b^{2048}})[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]E=(a^{2048}+\frac{1}{a^{2048}})+(b^{2048}+\frac{1}{b^{2048}})[/tex3]

[tex3]E=(-1)+(-1)=-2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]E=(-1)+(-1)=-2[/tex3]

[tex3]\therefore \boxed{E=-2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\therefore \boxed{E=-2}[/tex3]

[Hanon]

Veja que:

[tex3]x^{4}+\frac{1}{x^{4}}=-1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^{4}+\frac{1}{x^{4}}=-1[/tex3]

[tex3](x^{4}+\frac{1}{x^{4}})\cdot (x^{2}+\frac{1}{x^{2}})=-1\cdot (x^{2}+\frac{1}{x^{2}})[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](x^{4}+\frac{1}{x^{4}})\cdot (x^{2}+\frac{1}{x^{2}})=-1\cdot (x^{2}+\frac{1}{x^{2}})[/tex3]

[tex3]x^{6}+x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{x^{6}}=(-1)\cdot (-1)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^{6}+x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{x^{6}}=(-1)\cdot (-1)[/tex3]

[tex3]x^{6}-1+\frac{1}{x^{6}}=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^{6}-1+\frac{1}{x^{6}}=1[/tex3]

[tex3]x^{6}+\frac{1}{x^{6}}=2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^{6}+\frac{1}{x^{6}}=2[/tex3]

Logo, não é válido:

Assim,concluímos que para todo n natural e par,temos:
[tex3]x^{n}+\frac{1}{x^{n}}=-1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^{n}+\frac{1}{x^{n}}=-1[/tex3]

[jomatlove]

Veja que:

[tex3]x^{4}+\frac{1}{x^{4}}=-1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^{4}+\frac{1}{x^{4}}=-1[/tex3]

[tex3](x^{4}+\frac{1}{x^{4}})\cdot (x^{2}+\frac{1}{x^{2}})=-1\cdot (x^{2}+\frac{1}{x^{2}})[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](x^{4}+\frac{1}{x^{4}})\cdot (x^{2}+\frac{1}{x^{2}})=-1\cdot (x^{2}+\frac{1}{x^{2}})[/tex3]

[tex3]x^{6}+x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{x^{6}}=(-1)\cdot (-1)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^{6}+x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{x^{6}}=(-1)\cdot (-1)[/tex3]

[tex3]x^{6}-1+\frac{1}{x^{6}}=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^{6}-1+\frac{1}{x^{6}}=1[/tex3]

[tex3]x^{6}+\frac{1}{x^{6}}=2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^{6}+\frac{1}{x^{6}}=2[/tex3]

Logo, não é válido:

Assim,concluímos que para todo n natural e par,temos:
[tex3]x^{n}+\frac{1}{x^{n}}=-1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^{n}+\frac{1}{x^{n}}=-1[/tex3]

Precipitei-me na conclusão,então o correto é:[tex3]n=2^{k},k\in N[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]n=2^{k},k\in N[/tex3]

e [tex3]k\geq 2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]k\geq 2[/tex3]

Valeu pela correção!