Ensino Fundamental ⇒ Geometria (Ângulo) Tópico resolvido

[Babi123]

Do gráfico calcular [tex3]x[/tex3]

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[tex3]x[/tex3]

. Se [tex3]\overline{AB}=\overline{BC}[/tex3]

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[tex3]\overline{AB}=\overline{BC}[/tex3]

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a) [tex3]10^{\circ}[/tex3]

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[tex3]10^{\circ}[/tex3]

b) [tex3]12^{\circ}[/tex3]

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[tex3]12^{\circ}[/tex3]

c) [tex3]15^{\circ}[/tex3]

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[tex3]15^{\circ}[/tex3]

d) [tex3]20^{\circ}[/tex3]

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[tex3]20^{\circ}[/tex3]

e) [tex3]25^{\circ}[/tex3]

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[tex3]25^{\circ}[/tex3]

[Auto Excluído (ID:12031)]

seja P o encontro das retas de 10º e 20º na base AC

prolongue CP até ela cortar AB em X, termos que o triângulo CBX é 30-80-70º (esse triângulo sempre é notável por conta de seu circuncentro)

Prolongue CP até M (no interior de ABC) de tal forma que o triângulo BMC seja retângulo.

A reta BM corta AC em Y, como os ângulos XBY e YCX (mesmo X da primeira tentativa) são iguais a 20º então Y está no circuncírculo de XBC

seja D o encontro da reta BP com AC então basta provar que AY = CX para concluir o problema. A resposta é x=20º mas não consegui provar

EDIT: Como Y e B estão no circuncírculo de XBC então O é o encontro da mediatriz de BC com a mediatriz de BY

A mediatriz de BY é paralela a CP pois ambas são perpendiculares a BY

O ângulo OBX = 2*30 = 60º (ângulo inscrito na circunferência) logo o ângulo entre CO e a mediatriz CY é de 50º

basta provar que O,C e E são alinhados, não deve ser muito difícil, já que os triângulos definidos por CY, CB e as mediatrizes são semelhantes, quando eu conseguir eu posto uma figura

[undefinied3]

Achei x=20 mas por trigonometria:

Coloque o triângulo TBC grudado do lado do TAC (T é o ponto de encontro ali no meio). Feche T'T (T' é o ponto pra fora correspondente a T) e note que o triângulo BTT' é isósceles e terá o ângulo de 50 em <BT'T.
Repare que <CTB=150-x, então devemos ter AT'T=100-x. Como <T'AT=70 pela construção, então <ATT'=10+x, de modo que BT'A=60+x.
Seja AB=BC=a e BT=b. Aplicando lei dos senos em BTA:
[tex3]\frac{a}{sen(60+x)}=\frac{b}{sen(40)}[/tex3]

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[tex3]\frac{a}{sen(60+x)}=\frac{b}{sen(40)}[/tex3]

Aplicando em BTC:
[tex3]\frac{a}{sen(150-x)}=\frac{b}{sen(30)}[/tex3]

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[tex3]\frac{a}{sen(150-x)}=\frac{b}{sen(30)}[/tex3]

Daí [tex3]\frac{sen(60+x)}{sen(40)}=\frac{sen(150-x)}{sen(30)}=2sen(x+30)[/tex3]

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[tex3]\frac{sen(60+x)}{sen(40)}=\frac{sen(150-x)}{sen(30)}=2sen(x+30)[/tex3]

[tex3]sen(60+x)=2sen(x+30)sen(40)[/tex3]

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[tex3]sen(60+x)=2sen(x+30)sen(40)[/tex3]

Não cheguei a resolver, mas testando 20:
[tex3]sen(80)=2sen(50)sen(40)=2sen(40)cos(40)=sen(80)[/tex3]

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[tex3]sen(80)=2sen(50)sen(40)=2sen(40)cos(40)=sen(80)[/tex3]

Portanto a equação se verifica.

[Auto Excluído (ID:12031)]

veja que o ponto P é o encontro das isogonais do problema:

viewtopic.php?f=3&t=61325

logo BP é isogonal à BP' do problema acima, portanto x=20º

se três retas concorrem num ponto suas isogonais também concorrem:
http://cyshine.webs.com/isogonais.pdf

[FelipeMartin]

foi resolvida de forma mais direta, sem usar conjugados isogonais aqui: viewtopic.php?f=3&t=96792