Ensino Fundamental ⇒ Fatoração

[Angelita]

O número de fatores obtidos ao fatorarmos a expressão 30(a²+b²+c²+d²)+68ab-75ac-15ad-61bc-100bd+87cd em um produto de fatores com coeficiente inteiros é igual a:
a)0
b)1
c)2
d)3
e)4

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acredito que os fatores devem ser da forma (m*a+n*b+o*c + p*d), apesar não provar isso não deve ser muito difícil ver que se houvesse um fator da forma (m*a+b*n + k) com k inteiro teríamos um fator isolado do tipo z*a no final.

Então se houver um fator dessa forma essa expressão será do tipo (m*a+n*b+o*c+p*d)*P(a,b,c,d) com os coeficientes de P, um polinômio de grau dois ou um serão inteiros

se "o" não for zero, teremos um coeficiente, C, do termo "c" em P tal que o*C = 30 e um coeficiente B de "b" em P tal que o*B = -61 e D em d tal que o*D = 87, fácil ver que o = +/1 B = -/+61 C = +/- 30 e D = +/- 87
suponha então nesse caso que algum dos outros coeficientes não seja zero: m,n ou p. Se m não for zero m*C = -75, absurdo. Se n não for zero n*D = -100, absurdo. p não for zero p*D = 30, absurdo. Logo se existir um fator (m*a+n*b+o*c + p*d) devemos ter o=0 e P terá grau 2 em c com o termo 30c² dentro de P. Mas ao expandirmos o produto do fator por P teríamos 30c²(m*a+n*b+p*d) absurdo. Então acho que não dá pra fatorar essa expressão com fatores inteiros.

letra A