Ensino Fundamental

A figura mostra quatro circunferências tangentes entre si de centros C, D, E e O. Calcule o raio da circunferência de centro E, sabendo-se que o raio da circunferência de centro D é 1 cm e o raio da circunferência de centro C é igual a 2 cm.

: Sem título-1.gif (20.49 KiB) Exibido 1432 vezes

Resposta: 6/7 cm

esse ai é um exemplo do arbelos de Arquimedes.
Seja [tex3]x[/tex3] o raio do círculo menor (centrado em [tex3]E[/tex3] ).
Existem várias propriedades sobre essa configuração, uma delas é que a distância do ponto [tex3]E[/tex3] até a reta [tex3]CD[/tex3] é [tex3]2x[/tex3] (teorema de Pappus viewtopic.php?t=76617).
Então um jeito de terminar o problema é fazer Herão no triângulo [tex3]\triangle CDE[/tex3]
[tex3]S = 3x = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}[/tex3]
com: [tex3]2p = 3 + 2x + 3 \iff p = 3+x[/tex3]
então:
[tex3]3x = \sqrt{(3+x)x\cdot 2 \cdot 1} \iff 9x = 2(3+x) \iff 7x = 6 \iff x = \frac67[/tex3]
no caso geral: [tex3]p = a+b + x[/tex3] temos: [tex3](a+b)x = \sqrt{x(a+b+x)ab}[/tex3]
[tex3](a+b)^2x = (a+b+x)ab[/tex3]
[tex3]x(a^2+b^2+ab) = (a+b)ab \iff x = \frac{ab(a+b)}{a^2+ab+b^2}[/tex3]

Ensino Fundamental ⇒ Circunferências Tópico resolvido

Circunferências

Re: Circunferências

Ensino Fundamental ⇒ Circunferências Tópico resolvido

Circunferências

Re: Circunferências

Entrar • Registrar