Ensino Fundamental ⇒ Radical

[Angelita]

Para quantos valores de n o número [tex3]\sqrt[n]{\sqrt{3}+\sqrt{2}} + \sqrt[n]{\sqrt{3}-\sqrt{2}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt[n]{\sqrt{3}+\sqrt{2}} + \sqrt[n]{\sqrt{3}-\sqrt{2}}[/tex3]

é irracional?
a)1
b)2
c)3
d)4
e)infinitos

[Ittalo25]

[tex3]\sqrt[n]{\sqrt{3}+\sqrt{2}} + \frac{1}{ \sqrt[n]{\sqrt{3}+\sqrt{2}}} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt[n]{\sqrt{3}+\sqrt{2}} + \frac{1}{ \sqrt[n]{\sqrt{3}+\sqrt{2}}} [/tex3]

Fazendo: [tex3]\sqrt[n]{\sqrt{3}+\sqrt{2}} = a [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt[n]{\sqrt{3}+\sqrt{2}} = a [/tex3]

Suponha que [tex3]a + \frac{1}{a} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a + \frac{1}{a} [/tex3]

seja racional

Então por indução este número também é racional para todos os naturais k

[tex3]a^k + \frac{1}{a^k} = (a^{k-1}+\frac{1}{a^{k-1}}) \cdot (a + \frac{1}{a} ) - (a^{k-2}+\frac{1}{a^{k-2}})[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a^k + \frac{1}{a^k} = (a^{k-1}+\frac{1}{a^{k-1}}) \cdot (a + \frac{1}{a} ) - (a^{k-2}+\frac{1}{a^{k-2}})[/tex3]

Fazendo k=n:

[tex3]\sqrt{3}+\sqrt{2} + \sqrt{3}-\sqrt{2} = 2 \sqrt{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{3}+\sqrt{2} + \sqrt{3}-\sqrt{2} = 2 \sqrt{3}[/tex3]

Absurdo, então [tex3]a + \frac{1}{a} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a + \frac{1}{a} [/tex3]

nunca será racional para n natural

Portanto a resposta é:

e)infinitos

[MatheusBorges]

Fazendo k=n:

[tex3]\sqrt{3}+\sqrt{2} + \sqrt{3}-\sqrt{2} = 2 \sqrt{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{3}+\sqrt{2} + \sqrt{3}-\sqrt{2} = 2 \sqrt{3}[/tex3]

Absurdo, então [tex3]a + \frac{1}{a} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a + \frac{1}{a} [/tex3]

nunca será racional para n natural

Portanto a resposta é:

e)infinitos

[/quote]


[tex3]a^{n}+\frac{1}{a^{n}}=\left(\sqrt[n]{\sqrt{3}+\sqrt{2}}\right)^{n}+\left(\frac{1}{\sqrt[n]{\sqrt{3}+\sqrt{2}}}\right)^{n}=\sqrt{3}+\sqrt{2}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a^{n}+\frac{1}{a^{n}}=\left(\sqrt[n]{\sqrt{3}+\sqrt{2}}\right)^{n}+\left(\frac{1}{\sqrt[n]{\sqrt{3}+\sqrt{2}}}\right)^{n}=\sqrt{3}+\sqrt{2}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}[/tex3]

Ittalo25, não entendi o que você fez para chegar aqui:

[tex3]\sqrt{3}+\sqrt{2} + \sqrt{3}-\sqrt{2} = 2 \sqrt{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{3}+\sqrt{2} + \sqrt{3}-\sqrt{2} = 2 \sqrt{3}[/tex3]

[Ittalo25]

Fazendo k=n:

[tex3]\sqrt{3}+\sqrt{2} + \sqrt{3}-\sqrt{2} = 2 \sqrt{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{3}+\sqrt{2} + \sqrt{3}-\sqrt{2} = 2 \sqrt{3}[/tex3]

Absurdo, então [tex3]a + \frac{1}{a} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a + \frac{1}{a} [/tex3]

nunca será racional para n natural

Portanto a resposta é:

e)infinitos

Fiz n=k para sumir os radicais:

[tex3]\sqrt[n]{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\sqrt[n]{\sqrt{3}-\sqrt{2}} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt[n]{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\sqrt[n]{\sqrt{3}-\sqrt{2}} [/tex3]

[tex3]\sqrt{3}+\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{2} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{3}+\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{2} [/tex3]

[tex3]2\sqrt{3} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2\sqrt{3} [/tex3]