Para quantos valores de n o número [tex3]\sqrt[n]{\sqrt{3}+\sqrt{2}} + \sqrt[n]{\sqrt{3}-\sqrt{2}}[/tex3]
a)1
b)2
c)3
d)4
e)infinitos
é irracional?Ensino Fundamental ⇒ Radical
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Nov 2017
16
12:22
Re: Radical
[tex3]\sqrt[n]{\sqrt{3}+\sqrt{2}} + \frac{1}{ \sqrt[n]{\sqrt{3}+\sqrt{2}}} [/tex3]
Fazendo: [tex3]\sqrt[n]{\sqrt{3}+\sqrt{2}} = a [/tex3]
Suponha que [tex3]a + \frac{1}{a} [/tex3] seja racional
Então por indução este número também é racional para todos os naturais k
[tex3]a^k + \frac{1}{a^k} = (a^{k-1}+\frac{1}{a^{k-1}}) \cdot (a + \frac{1}{a} ) - (a^{k-2}+\frac{1}{a^{k-2}})[/tex3]
Fazendo k=n:
[tex3]\sqrt{3}+\sqrt{2} + \sqrt{3}-\sqrt{2} = 2 \sqrt{3}[/tex3]
Absurdo, então [tex3]a + \frac{1}{a} [/tex3] nunca será racional para n natural
Portanto a resposta é:
e)infinitos
Fazendo: [tex3]\sqrt[n]{\sqrt{3}+\sqrt{2}} = a [/tex3]
Suponha que [tex3]a + \frac{1}{a} [/tex3] seja racional
Então por indução este número também é racional para todos os naturais k
[tex3]a^k + \frac{1}{a^k} = (a^{k-1}+\frac{1}{a^{k-1}}) \cdot (a + \frac{1}{a} ) - (a^{k-2}+\frac{1}{a^{k-2}})[/tex3]
Fazendo k=n:
[tex3]\sqrt{3}+\sqrt{2} + \sqrt{3}-\sqrt{2} = 2 \sqrt{3}[/tex3]
Absurdo, então [tex3]a + \frac{1}{a} [/tex3] nunca será racional para n natural
Portanto a resposta é:
e)infinitos
Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]
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Nov 2017
16
13:04
Re: Radical
Fazendo k=n:
[tex3]\sqrt{3}+\sqrt{2} + \sqrt{3}-\sqrt{2} = 2 \sqrt{3}[/tex3]
Absurdo, então [tex3]a + \frac{1}{a} [/tex3] nunca será racional para n natural
Portanto a resposta é:
e)infinitos
[/quote]
[tex3]a^{n}+\frac{1}{a^{n}}=\left(\sqrt[n]{\sqrt{3}+\sqrt{2}}\right)^{n}+\left(\frac{1}{\sqrt[n]{\sqrt{3}+\sqrt{2}}}\right)^{n}=\sqrt{3}+\sqrt{2}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}[/tex3]
Ittalo25, não entendi o que você fez para chegar aqui:
[tex3]\sqrt{3}+\sqrt{2} + \sqrt{3}-\sqrt{2} = 2 \sqrt{3}[/tex3]
[tex3]\sqrt{3}+\sqrt{2} + \sqrt{3}-\sqrt{2} = 2 \sqrt{3}[/tex3]
Absurdo, então [tex3]a + \frac{1}{a} [/tex3] nunca será racional para n natural
Portanto a resposta é:
e)infinitos
[/quote]
[tex3]a^{n}+\frac{1}{a^{n}}=\left(\sqrt[n]{\sqrt{3}+\sqrt{2}}\right)^{n}+\left(\frac{1}{\sqrt[n]{\sqrt{3}+\sqrt{2}}}\right)^{n}=\sqrt{3}+\sqrt{2}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}[/tex3]
Ittalo25, não entendi o que você fez para chegar aqui:
[tex3]\sqrt{3}+\sqrt{2} + \sqrt{3}-\sqrt{2} = 2 \sqrt{3}[/tex3]
A alegria está na luta, na tentativa, no sofrimento envolvido e não na vitória propriamente dita.
-Mahatma Gandhi
-Mahatma Gandhi
Nov 2017
16
15:24
Re: Radical
Fiz n=k para sumir os radicais:
[tex3]\sqrt[n]{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\sqrt[n]{\sqrt{3}-\sqrt{2}} [/tex3]
[tex3]\sqrt{3}+\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{2} [/tex3]
[tex3]2\sqrt{3} [/tex3]
Última edição: Ittalo25 (Qui 16 Nov, 2017 15:25). Total de 1 vez.
Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]
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