Ensino FundamentalRadical

Problemas sobre assuntos estudados no Ensino Fundamental devem ser postados aqui (exceto problemas de Vestibulares).

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Angelita
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Nov 2017 16 07:10

Radical

Mensagem não lida por Angelita »

Para quantos valores de n o número [tex3]\sqrt[n]{\sqrt{3}+\sqrt{2}} + \sqrt[n]{\sqrt{3}-\sqrt{2}}[/tex3] é irracional?
a)1
b)2
c)3
d)4
e)infinitos




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Ittalo25
5 - Mestre
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Nov 2017 16 12:22

Re: Radical

Mensagem não lida por Ittalo25 »

[tex3]\sqrt[n]{\sqrt{3}+\sqrt{2}} + \frac{1}{ \sqrt[n]{\sqrt{3}+\sqrt{2}}} [/tex3]

Fazendo: [tex3]\sqrt[n]{\sqrt{3}+\sqrt{2}} = a [/tex3]

Suponha que [tex3]a + \frac{1}{a} [/tex3] seja racional

Então por indução este número também é racional para todos os naturais k

[tex3]a^k + \frac{1}{a^k} = (a^{k-1}+\frac{1}{a^{k-1}}) \cdot (a + \frac{1}{a} ) - (a^{k-2}+\frac{1}{a^{k-2}})[/tex3]

Fazendo k=n:

[tex3]\sqrt{3}+\sqrt{2} + \sqrt{3}-\sqrt{2} = 2 \sqrt{3}[/tex3]

Absurdo, então [tex3]a + \frac{1}{a} [/tex3] nunca será racional para n natural

Portanto a resposta é:

e)infinitos



Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]

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MatheusBorges
4 - Sabe Tudo
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Nov 2017 16 13:04

Re: Radical

Mensagem não lida por MatheusBorges »

Fazendo k=n:

[tex3]\sqrt{3}+\sqrt{2} + \sqrt{3}-\sqrt{2} = 2 \sqrt{3}[/tex3]

Absurdo, então [tex3]a + \frac{1}{a} [/tex3] nunca será racional para n natural

Portanto a resposta é:

e)infinitos

[/quote]


[tex3]a^{n}+\frac{1}{a^{n}}=\left(\sqrt[n]{\sqrt{3}+\sqrt{2}}\right)^{n}+\left(\frac{1}{\sqrt[n]{\sqrt{3}+\sqrt{2}}}\right)^{n}=\sqrt{3}+\sqrt{2}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}[/tex3]
Ittalo25, não entendi o que você fez para chegar aqui:

[tex3]\sqrt{3}+\sqrt{2} + \sqrt{3}-\sqrt{2} = 2 \sqrt{3}[/tex3]


A alegria está na luta, na tentativa, no sofrimento envolvido e não na vitória propriamente dita.
-Mahatma Gandhi

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Ittalo25
5 - Mestre
Mensagens: 2349
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Nov 2017 16 15:24

Re: Radical

Mensagem não lida por Ittalo25 »

MafIl10 escreveu:
Qui 16 Nov, 2017 13:04
Fazendo k=n:

[tex3]\sqrt{3}+\sqrt{2} + \sqrt{3}-\sqrt{2} = 2 \sqrt{3}[/tex3]

Absurdo, então [tex3]a + \frac{1}{a} [/tex3] nunca será racional para n natural

Portanto a resposta é:

e)infinitos


Fiz n=k para sumir os radicais:

[tex3]\sqrt[n]{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\sqrt[n]{\sqrt{3}-\sqrt{2}} [/tex3]
[tex3]\sqrt{3}+\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{2} [/tex3]
[tex3]2\sqrt{3} [/tex3]

Última edição: Ittalo25 (Qui 16 Nov, 2017 15:25). Total de 1 vez.


Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]

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