Ensino Fundamental

Em um triângulo ABC de ortocentro "H" a reta de Euler intercepta os lados , AB e BC nos pontos P e Q respectivamente, tal que: PB=BQ. Calcule a distância de "P" a BC. Se: AH+HC= 18uc.
a)9 uc
b)10 uc
c)6 uc
d)4,5 uc
e)3 uc

: geogebra-export7 (1).png (43.97 KiB) Exibido 351 vezes

primeira coisa:
H e O são conjugados isogonais, ou seja:
[tex3]\angle HBQ = \angle PBO[/tex3]
e, como BQP é isósceles, então o triângulo BPO é congruente ao BHQ, então BHO é isósceles.
[tex3]BH = BO[/tex3] , porém BH é diâmetro da circunferência circunscrita de BEF ( o qual é semelhante a ABC)
de onde o raio da circunscrita de ABC = duas vezes o raio da circunscrita de BEF.
E então a razão de semelhança dos triângulos BEF e ABC é 1/2
isto implica que [tex3]\cos B = \frac 12[/tex3] e então [tex3]B =60^{\circ}[/tex3]
e o triângulo BPQ é equilátero.

PG é paralela à AH.
1- do triângulo AFB: [tex3]AH + HF = \sqrt{3} FB[/tex3]
2- do CHF: [tex3]CH = 2HF[/tex3]
3- de HQF; [tex3]HF = \sqrt3 FQ[/tex3]

somando 1 com 3: [tex3]AH + 2HF = \sqrt{3}(FB+FQ) = \sqrt{3}BQ[/tex3]
[tex3]AH + CH = \sqrt{3}BQ[/tex3]
[tex3]2PG = BQ \sqrt{3}[/tex3]
[tex3]AH + CH = 2PG \implies PG =9[/tex3]

Ensino Fundamental ⇒ Triângulo

Triângulo

Re: Triângulo

Ensino Fundamental ⇒ Triângulo

Triângulo

Re: Triângulo

Entrar • Registrar