Ensino Fundamental

Mensagem não lidapor **botelho** » Sex 27 Out, 2017 06:56

Em um triângulo obtuso [tex3]\,\,ABC\,\,[/tex3] , obtuso em C: [tex3]\,\,AB=c\,\,[/tex3] , [tex3]\,\,BC=a\,\,[/tex3] e [tex3]\,\,AC=b\,\,[/tex3] . Calcule a medida do ângulo [tex3]\,\,ACB\,\,[/tex3] , sabendo que: [tex3]a^{4}+b^{4}+c^{4}=2c^{2}(2^{2}+b^{2})[/tex3] .

a)120°
b)150°
c)115°
d)105°
e)135°

botelho,

Acredito que a equação seja

[tex3]a^{4}+b^{4}+c^{4}=2c^{2}(a^{2}+b^{2})[/tex3]

[tex3]a^{4}+b^{4}-2b^2c^2+c^{4}=2c^{2}a^{2}[/tex3]

[tex3]a^{4}+(b^2-c^2)^2=2c^{2}a^{2}[/tex3]

Seja [tex3]\,\,\angle\, ACB=\theta[/tex3] , temos pela Lei dos Cossenos,

[tex3]c^2=a^2+b^2-2ab\cos \theta [/tex3]

[tex3]c^2-b^2=a^2-2ab\cos \theta [/tex3]

Substituindo na equação anterior,

[tex3]a^{4}+(a^2-2ab\cos \theta)^2=2c^{2}a^{2}[/tex3]

[tex3]a^{2}+(a-2b\cos \theta)^2=2c^{2}[/tex3]

[tex3]2a^{2}+4b^2\cos^2 \theta-4ab\cos \theta=2c^{2}[/tex3]

[tex3]a^{2}+2b^2\cos^2 \theta-2ab\cos \theta=c^{2}[/tex3]

[tex3]2b^2\cos^2 \theta-b^2+(a^{2}+b^2-2ab\cos \theta)=c^{2}[/tex3]

Pela Lei dos Cossenos anterior,

[tex3]2b^2\cos^2 \theta-b^2=0[/tex3]

[tex3]2\cos^2 \theta-1=0[/tex3]

[tex3](\sqrt2\cos \theta-1)(\sqrt2\cos \theta+1)=0[/tex3]

Como o ângulo é obtuso, seu cosseno é negativo,

[tex3]\cos \theta=-\frac{1}{\sqrt2}[/tex3]

[tex3]\theta=135º[/tex3]

Espero ter ajudado. Abraço.

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