Ensino Fundamental ⇒ Triângulo Tópico resolvido

[Flavio2020]

Na figura as longitudes dos segmentos, AB, BD e BC estão expressas por números inteiros. Se AB+BD=K. Calcular a soma do máximo e do mínimo valor que toma BC

Capturar.JPG (14.15 KiB) Exibido 929 vezes

a)2K+1
b)2K-1
c)2K+2
d)K+2
e)K

[Flavio2020]

Alguém tem uma dica!
Agradeço.

[jvmago]

Supondo que [tex3]AB//CD[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]AB//CD[/tex3]

e [tex3]BC=x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]BC=x[/tex3]

[tex3]\frac{x}{sen3\theta }=\frac{a}{sen\theta }[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{x}{sen3\theta }=\frac{a}{sen\theta }[/tex3]

[tex3]x=a(3-4sen^2\theta) [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x=a(3-4sen^2\theta) [/tex3]

[tex3]\frac{b}{sen(4\theta) }=\frac{x}{sen(2\theta )}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{b}{sen(4\theta) }=\frac{x}{sen(2\theta )}[/tex3]

[tex3]x=\frac{b}{2cos(2\theta )}=\frac{b}{2(1-2sen^2(\theta ))}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x=\frac{b}{2cos(2\theta )}=\frac{b}{2(1-2sen^2(\theta ))}[/tex3]

Soma essas equações e verifica os maximos e mínimos. Acho que por cálculo fica mais facil

[jvmago]

Essa questão Pela desigualdade dos poligonais no triângulo BCD

BD-DC<x<BD+DC

Análogamente em ABC

AC-AB<x<AB+AC

Somando

AC+BD-AB-DC<2x<k+AC+DC

Sabemos também que
AD<AB+BD e isso é incrível pois temos
AD<k como K é inteiro então
AD=k-1

Por outro lado
AD<AC+DC PORTANTO
k-1<AC+DC logo

AC+DC=k usando isso lá em cima

2x<k+k
x<k
X=k-1 é valor máximo

Usando desigualdade em ACD

K-1>DC então DC=k-2

Usando desigualdade em BCD
X>k-2 logo X =k-1 q é o valor mínimo somando esse com o anterior temos

X=2k-2

PIMBADA