Determinar o maior lado de um triângulo ABC, tal que r=5m; ra=12m e rb=20.
a)7 [tex3]\sqrt{5}[/tex3]
b)8 [tex3]\sqrt{5}[/tex3]
c)9 [tex3]\sqrt{5}[/tex3]
d)10 [tex3]\sqrt{5}[/tex3]
e)15 [tex3]\sqrt{5}[/tex3]
Ensino Fundamental ⇒ Triângulo Tópico resolvido
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Flavio2020 
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Out 2017
04
11:11
Re: Triângulo
o rc dá pra achar pela relação:
[tex3]\frac{1}{5} = \frac{1}{12}+ \frac{1}{20}+\frac{1}{r_c}[/tex3]
[tex3]r_c = 15[/tex3]
usando as fórmulas:
[tex3]\begin{cases}
S=p \cdot r \\
S=r_n (p-n)
\end{cases}[/tex3]
[tex3]5p = 12(p-a) = 20(p-b) = 15(p-c) [/tex3]
de onde sai:
[tex3]\begin{cases}
a=a \\
b=\frac{9a}{7} \\
c=\frac{8a}{7}
\end{cases}[/tex3]
b é o maior lado.
Pela lei dos cossenos:
[tex3]b^2 = a^2+c^2 - 2ab\cdot cosB [/tex3]
[tex3]cosB = \frac{2}{7} \rightarrow senB = \frac{3\sqrt{5}}{7} [/tex3]
Novamente pelas fórmulas de área:
[tex3]\frac{ac\cdot senB}{2} = p \cdot r[/tex3]
[tex3]a \cdot \frac{8a}{7}\cdot \frac{3\sqrt{5}}{7} = (a+\frac{9a}{7}+\frac{8a}{7}) \cdot 5[/tex3]
[tex3]a=7\sqrt{5} [/tex3]
E portanto:
[tex3]\boxed {b=9\sqrt{5}} [/tex3]
OBS: Aqui tem demonstrações:
viewtopic.php?f=28&t=23893
[tex3]\frac{1}{5} = \frac{1}{12}+ \frac{1}{20}+\frac{1}{r_c}[/tex3]
[tex3]r_c = 15[/tex3]
usando as fórmulas:
[tex3]\begin{cases}
S=p \cdot r \\
S=r_n (p-n)
\end{cases}[/tex3]
[tex3]5p = 12(p-a) = 20(p-b) = 15(p-c) [/tex3]
de onde sai:
[tex3]\begin{cases}
a=a \\
b=\frac{9a}{7} \\
c=\frac{8a}{7}
\end{cases}[/tex3]
b é o maior lado.
Pela lei dos cossenos:
[tex3]b^2 = a^2+c^2 - 2ab\cdot cosB [/tex3]
[tex3]cosB = \frac{2}{7} \rightarrow senB = \frac{3\sqrt{5}}{7} [/tex3]
Novamente pelas fórmulas de área:
[tex3]\frac{ac\cdot senB}{2} = p \cdot r[/tex3]
[tex3]a \cdot \frac{8a}{7}\cdot \frac{3\sqrt{5}}{7} = (a+\frac{9a}{7}+\frac{8a}{7}) \cdot 5[/tex3]
[tex3]a=7\sqrt{5} [/tex3]
E portanto:
[tex3]\boxed {b=9\sqrt{5}} [/tex3]
OBS: Aqui tem demonstrações:
viewtopic.php?f=28&t=23893
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