Ensino Fundamental ⇒ Quadrilátero Tópico resolvido

[botelho]

Tem-se um quadrilátero bicêntrico ABCD tal que: AB=6, BC=5 e CD=9, calcular a medida do raio da circunferência inscrita.
a)1
b)2
c)3 [tex3]\sqrt{2}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{2}[/tex3]

d)2 [tex3]\sqrt{3}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{3}[/tex3]

e)3

[Ittalo25]

O quarto lado pode ser encontrado pelo teorema de Pitot e vale AD=10

A fórmula do in-raio é:

[tex3]r = \frac{2\sqrt{abcd}}{a+b+c+d}[/tex3]

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[tex3]r = \frac{2\sqrt{abcd}}{a+b+c+d}[/tex3]

Sendo a,b,c e d os lados do quadrilátero bicêntrico

Mas não faço ideia de como demonstrá-la

[undefinied3]

Na verdade, pra polígonos (não lembro se têm que ser convexos) vale sempre [tex3]p.r=S[/tex3]

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[tex3]p.r=S[/tex3]

. Só que dá pra usar a fórmula de Brahmagupta pra área.
[tex3]15r=\sqrt{9.10.6.5} \rightarrow r=\frac{10\sqrt{27}}{15}=\frac{30\sqrt{3}}{15}=2\sqrt{3}[/tex3]

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[tex3]15r=\sqrt{9.10.6.5} \rightarrow r=\frac{10\sqrt{27}}{15}=\frac{30\sqrt{3}}{15}=2\sqrt{3}[/tex3]

Aí vale pra qualquer quadrilátero, e não apenas bicêntrico. Acho que essa é fórmula é um pouco mais conhecida e a demonstração pode ficar de lado.

[Ittalo25]

Onde encontro a demonstração dessa fórmula para todos os polígonos? Sempre achei que fosse só para triângulos

[undefinied3]

Então, eu viajei um pouco em não deixar claro algo que ficou meio implícito mas não exatamente no que eu escrevi. O polígono tem que possuir uma circunferência inscritível obviamente pra usar essa fórmula, ou seja, na maioria dos casos vai ser só com o regular e com quadriláteros circunscritíveis, que é o caso do bicêntrico.
Eu realmente nunca procurei a demonstração. Na verdade, fiquei sabendo desse fato porque meu professor tinha me contado. Se não me engano, ele apenas mencionou que a prova vem de uma indução, dividindo o polígono em triângulos de altura igual ao inraio, e as bases acabam sendo o lado do polígono. O fato de virar o semiperímetro é porque a área dos triângulos possui uma divisão por 2.