Tem-se um quadrilátero bicêntrico ABCD tal que: AB=6, BC=5 e CD=9, calcular a medida do raio da circunferência inscrita.
a)1
b)2
c)3 [tex3]\sqrt{2}[/tex3]
d)2 [tex3]\sqrt{3}[/tex3]
e)3
Ensino Fundamental ⇒ Quadrilátero Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Out 2017
03
19:16
Re: Quadrilátero
O quarto lado pode ser encontrado pelo teorema de Pitot e vale AD=10
A fórmula do in-raio é:
[tex3]r = \frac{2\sqrt{abcd}}{a+b+c+d}[/tex3]
Sendo a,b,c e d os lados do quadrilátero bicêntrico
Mas não faço ideia de como demonstrá-la
A fórmula do in-raio é:
[tex3]r = \frac{2\sqrt{abcd}}{a+b+c+d}[/tex3]
Sendo a,b,c e d os lados do quadrilátero bicêntrico
Mas não faço ideia de como demonstrá-la
Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]
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Out 2017
03
19:35
Re: Quadrilátero
Na verdade, pra polígonos (não lembro se têm que ser convexos) vale sempre [tex3]p.r=S[/tex3]
[tex3]15r=\sqrt{9.10.6.5} \rightarrow r=\frac{10\sqrt{27}}{15}=\frac{30\sqrt{3}}{15}=2\sqrt{3}[/tex3]
Aí vale pra qualquer quadrilátero, e não apenas bicêntrico. Acho que essa é fórmula é um pouco mais conhecida e a demonstração pode ficar de lado.
. Só que dá pra usar a fórmula de Brahmagupta pra área.[tex3]15r=\sqrt{9.10.6.5} \rightarrow r=\frac{10\sqrt{27}}{15}=\frac{30\sqrt{3}}{15}=2\sqrt{3}[/tex3]
Aí vale pra qualquer quadrilátero, e não apenas bicêntrico. Acho que essa é fórmula é um pouco mais conhecida e a demonstração pode ficar de lado.
Última edição: undefinied3 (Ter 03 Out, 2017 19:36). Total de 1 vez.
Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.
Out 2017
03
20:15
Re: Quadrilátero
Onde encontro a demonstração dessa fórmula para todos os polígonos? Sempre achei que fosse só para triângulos
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Out 2017
03
20:30
Re: Quadrilátero
Então, eu viajei um pouco em não deixar claro algo que ficou meio implícito mas não exatamente no que eu escrevi. O polígono tem que possuir uma circunferência inscritível obviamente pra usar essa fórmula, ou seja, na maioria dos casos vai ser só com o regular e com quadriláteros circunscritíveis, que é o caso do bicêntrico.
Eu realmente nunca procurei a demonstração. Na verdade, fiquei sabendo desse fato porque meu professor tinha me contado. Se não me engano, ele apenas mencionou que a prova vem de uma indução, dividindo o polígono em triângulos de altura igual ao inraio, e as bases acabam sendo o lado do polígono. O fato de virar o semiperímetro é porque a área dos triângulos possui uma divisão por 2.
Eu realmente nunca procurei a demonstração. Na verdade, fiquei sabendo desse fato porque meu professor tinha me contado. Se não me engano, ele apenas mencionou que a prova vem de uma indução, dividindo o polígono em triângulos de altura igual ao inraio, e as bases acabam sendo o lado do polígono. O fato de virar o semiperímetro é porque a área dos triângulos possui uma divisão por 2.
Última edição: undefinied3 (Ter 03 Out, 2017 20:31). Total de 1 vez.
Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.
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