Ensino Fundamental ⇒ Triângulo Retângulo Tópico resolvido

[botelho]

Em um triângulo ABC reto em B, com centro em B traça-se um arco tangente a AC e que intercepta AB e BC em M e N, respectivamente, calcular a área da região quadrangular AMNC; se: AB=3 e BC=4.
a)3,11
b3,12
c)3,13
d)3,13
e)3,15

[Ittalo25]

sds.png (11.38 KiB) Exibido 394 vezes

Potência de ponto:

[tex3]\begin{cases}
z^2 = (4-r+2r)(4-r) \\
(5-z)^2 = (3-r)(3-r+2r)
\end{cases}[/tex3]

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[tex3]\begin{cases}
z^2 = (4-r+2r)(4-r) \\
(5-z)^2 = (3-r)(3-r+2r)
\end{cases}[/tex3]

De onde sai: [tex3]\frac{r^2}{2} = \frac{144}{50}[/tex3]

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[tex3]\frac{r^2}{2} = \frac{144}{50}[/tex3]

E portanto:

[tex3][AMNC] = [ABC] - [BMN][/tex3]

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[tex3][AMNC] = [ABC] - [BMN][/tex3]

[tex3][AMNC] = \frac{3\cdot 4}{2} - \frac{144}{50}[/tex3]

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[tex3][AMNC] = \frac{3\cdot 4}{2} - \frac{144}{50}[/tex3]

[tex3][AMNC] = 3,12[/tex3]

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[tex3][AMNC] = 3,12[/tex3]

[jomatlove]

Resoluçao:

20171002_213008-1.jpg (84.78 KiB) Exibido 383 vezes

De acordo com a figura:
[tex3]\bullet \Delta ABC\cong\Delta BCT[/tex3]

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[tex3]\bullet \Delta ABC\cong\Delta BCT[/tex3]

(Caso:ângulo-ângulo)
[tex3]\rightarrow \frac{r}{3}=\frac{4}{5}\rightarrow r=\frac{12}{5} [/tex3]

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[tex3]\rightarrow \frac{r}{3}=\frac{4}{5}\rightarrow r=\frac{12}{5} [/tex3]

[tex3]\bullet S_{(ABC)}=\frac{\overline{AB}.\overline{BC}}{2}=\frac{3.4}{2}=6[/tex3]

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[tex3]\bullet S_{(ABC)}=\frac{\overline{AB}.\overline{BC}}{2}=\frac{3.4}{2}=6[/tex3]

[tex3]\bullet S_{(MBN)}=\frac{\overline{MB}.\overline{BN}}{2}=\frac{r.r}{2}=\frac{1}{2}.\frac{12}{5}.\frac{12}{5}=\frac{72}{25}[/tex3]

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[tex3]\bullet S_{(MBN)}=\frac{\overline{MB}.\overline{BN}}{2}=\frac{r.r}{2}=\frac{1}{2}.\frac{12}{5}.\frac{12}{5}=\frac{72}{25}[/tex3]

[tex3]\bullet S_{(AMNC)}=S_{(ABC)}-S_{(MBN)}=6-\frac{72}{25}=\frac{150-72}{2}=\frac{78}{2}=3,12[/tex3]

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[tex3]\bullet S_{(AMNC)}=S_{(ABC)}-S_{(MBN)}=6-\frac{72}{25}=\frac{150-72}{2}=\frac{78}{2}=3,12[/tex3]

[tex3]\therefore\boxed{ S_{(AMNC)}=3,12}[/tex3]

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[tex3]\therefore\boxed{ S_{(AMNC)}=3,12}[/tex3]