Ensino Fundamental

Em um triângulo ABC, a medida do ângulo A é o dobro do ângulo C, AB=5m e AC=11m, calcular a área da região triangular ABC.
a)20m²
b)22m²
c)24m²
d)27,5m²
e)33m²

Resolução
Temos:
[tex3]\overline{AB}=5m[/tex3]
[tex3]\overline{AC}=11m[/tex3]
[tex3]\overline{BC}=x[/tex3]

[tex3]\bullet [/tex3] Lei dos senos:
[tex3]\frac{5}{sen\theta }=\frac{x}{sen2\theta }[/tex3]
[tex3]xsen\theta =5sen2\theta [/tex3]
[tex3]x\cancel{sen\theta} =5(2\cancel{sen\theta} cos\theta )[/tex3]
[tex3]xsen\theta =10sen\theta cos\theta [/tex3]
[tex3]x=10cos\theta [/tex3]

[tex3]\bullet [/tex3] Lei dos cossenos:
[tex3]x^{2}=5^{2}+11^{2}-2.5.11.cos2\theta [/tex3]
[tex3]x^{2}=25+121-110cos2\theta [/tex3]
[tex3]x^{2}=146-110cos2\theta [/tex3]
[tex3](10cos\theta )^{2}=146-110cos2\theta [/tex3]
[tex3]100cos^{2}\theta =146-110cos2\theta [/tex3] (Nota:[tex3]cos2\theta =2cos^{2}\theta -1\rightarrow cos^{2}\theta =\frac{cos2\theta +1}{2}[/tex3] )
[tex3]100.\frac{cos2\theta +1}{2}=146-110cos2\theta [/tex3]
[tex3]50(cos2\theta +1)=146-110cos2\theta [/tex3]
[tex3]cos2\theta +50=146-110cos2\theta [/tex3]
[tex3]160cos2\theta =96[/tex3]
[tex3]cos2\theta =\frac{96}{160}=\frac{3}{5}\rightarrow sen2\theta =\frac{4}{5}[/tex3]

[tex3]\bullet [/tex3] Area do triangulo ABC:
[tex3]S=\frac{\overline{AB}.\overline{AC}}{2}.sen2\theta=\frac{5.11}{2}.\frac{4}{5}=22 [/tex3]

[tex3]\therefore \boxed{S=22m^{2}}[/tex3]

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