Ensino Fundamental ⇒ Equações Irracionais Tópico resolvido

[MatheusBorges]

[tex3]\frac{\sqrt{x}+\sqrt{3}}{\sqrt{x}+\sqrt{x+\sqrt{3}}}+\frac{\sqrt{x}-\sqrt{3}}{\sqrt{x}-\sqrt{x-\sqrt{3}}}=\sqrt{x}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\sqrt{x}+\sqrt{3}}{\sqrt{x}+\sqrt{x+\sqrt{3}}}+\frac{\sqrt{x}-\sqrt{3}}{\sqrt{x}-\sqrt{x-\sqrt{3}}}=\sqrt{x}[/tex3]

A equação é essa e o gabarito é [tex3]2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2[/tex3]

fiquei a madruga toda e não consegui, deve ter algum produto notável no meio que não visualizei por isso a pergunta anterior

[jomatlove]

Olá!
Falta o segundo membro da equaçao!

[jomatlove]

Olá!
Falta o segundo membro da equaçao!

Tem algo errado.pode verificar cuidadosamente a questão novamente

[jomatlove]

Olá.
Tem algo errado.pode verificar cuidadosamente a questão de novo.

[jrneliodias]

Olá, a equação está correta. É a questão mais difícil no Matemática Elementar 1 na minha opinião.


[tex3]\frac{x +\sqrt{3}}{\sqrt{x}+ \sqrt{x+\sqrt{3}}} + \frac{x -\sqrt{3}}{\sqrt{x} - \sqrt{x- \sqrt{3}}}= \sqrt{x}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{x +\sqrt{3}}{\sqrt{x}+ \sqrt{x+\sqrt{3}}} + \frac{x -\sqrt{3}}{\sqrt{x} - \sqrt{x- \sqrt{3}}}= \sqrt{x}[/tex3]

Observamos que a condição de existência da equação é [tex3]x>\sqrt 3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x>\sqrt 3[/tex3]

. Dai aplicamos a racionalização:


[tex3]\frac{x +\sqrt{3}}{\sqrt{x}+ \sqrt{x+\sqrt{3}}}\cdot\frac{\sqrt{x}- \sqrt{x+\sqrt{3}}}{\sqrt{x}- \sqrt{x+\sqrt{3}}}+\frac{x -\sqrt{3}}{\sqrt{x} - \sqrt{x- \sqrt{3}}}\cdot\frac{\sqrt{x} + \sqrt{x- \sqrt{3}}}{\sqrt{x} + \sqrt{x- \sqrt{3}}}=\sqrt{x} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{x +\sqrt{3}}{\sqrt{x}+ \sqrt{x+\sqrt{3}}}\cdot\frac{\sqrt{x}- \sqrt{x+\sqrt{3}}}{\sqrt{x}- \sqrt{x+\sqrt{3}}}+\frac{x -\sqrt{3}}{\sqrt{x} - \sqrt{x- \sqrt{3}}}\cdot\frac{\sqrt{x} + \sqrt{x- \sqrt{3}}}{\sqrt{x} + \sqrt{x- \sqrt{3}}}=\sqrt{x} [/tex3]

[tex3]-\frac{(x +\sqrt{3})(\sqrt{x}- \sqrt{x+\sqrt{3}})}{\sqrt{3}}+\frac{(x -\sqrt{3})(\sqrt{x} + \sqrt{x- \sqrt{3}})}{ \sqrt{3}}=\sqrt{x} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]-\frac{(x +\sqrt{3})(\sqrt{x}- \sqrt{x+\sqrt{3}})}{\sqrt{3}}+\frac{(x -\sqrt{3})(\sqrt{x} + \sqrt{x- \sqrt{3}})}{ \sqrt{3}}=\sqrt{x} [/tex3]

[tex3](x-\sqrt3)\left(\sqrt{x-\sqrt{3}}\right)+(x+\sqrt3)\left(\sqrt{x+\sqrt{3}}\right)=3\sqrt3\cdot\sqrt{x}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](x-\sqrt3)\left(\sqrt{x-\sqrt{3}}\right)+(x+\sqrt3)\left(\sqrt{x+\sqrt{3}}\right)=3\sqrt3\cdot\sqrt{x}[/tex3]

Como, [tex3]x>\sqrt 3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x>\sqrt 3[/tex3]

, então [tex3]x-\sqrt 3>0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x-\sqrt 3>0[/tex3]

e [tex3]x+\sqrt 3>0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x+\sqrt 3>0[/tex3]

, então podemos colocar dentro da raiz,


[tex3]\sqrt{(x-\sqrt{3})^3}+\sqrt{(x+\sqrt{3})^3}=\sqrt{27x}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{(x-\sqrt{3})^3}+\sqrt{(x+\sqrt{3})^3}=\sqrt{27x}[/tex3]

Elevando ao quadrado,


[tex3](x-\sqrt{3})^3+(x+\sqrt{3})^3+2\sqrt{(x-\sqrt{3})^3(x+\sqrt{3})^3}=27 x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](x-\sqrt{3})^3+(x+\sqrt{3})^3+2\sqrt{(x-\sqrt{3})^3(x+\sqrt{3})^3}=27 x[/tex3]

[tex3]2\sqrt{(x^2-3)^3}=9 x-2x^3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2\sqrt{(x^2-3)^3}=9 x-2x^3[/tex3]

Então, pela condição de existência,


[tex3]9x-2x^3>0\,\,\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,\,x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}\,\,\,ou\,\,\,0 < x <\frac{3\sqrt{2}}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]9x-2x^3>0\,\,\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,\,x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}\,\,\,ou\,\,\,0 < x <\frac{3\sqrt{2}}{2}[/tex3]

Continuando a equação e elevando ao quadrado,


[tex3]4(x^6-9x^4+27x^2-27)=81 x^2+4x^6-36x^4[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]4(x^6-9x^4+27x^2-27)=81 x^2+4x^6-36x^4[/tex3]

[tex3]x^2-4=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^2-4=0[/tex3]

[tex3](x+2)(x-2)=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](x+2)(x-2)=0[/tex3]

Como [tex3]2< x <\frac{3\sqrt{2}}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2< x <\frac{3\sqrt{2}}{2}[/tex3]

, então [tex3]x=2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x=2[/tex3]

é a solução.

Qualquer criança na Rússia faz essa hahaha.

Espero ter ajudado. Abraço.

[jomatlove]

Olá, a equação está correta. É a questão mais difícil no Matemática Elementar 1 na minha oopinião
Como não??
A questao postado por MafII10 tem raiz quadrada de x no denominador.Ou nao tem??
[tex3]\frac{x +\sqrt{3}}{\sqrt{x}+ \sqrt{x+\sqrt{3}}} + \frac{x -\sqrt{3}}{\sqrt{x} - \sqrt{x- \sqrt{3}}}= \sqrt{x}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{x +\sqrt{3}}{\sqrt{x}+ \sqrt{x+\sqrt{3}}} + \frac{x -\sqrt{3}}{\sqrt{x} - \sqrt{x- \sqrt{3}}}= \sqrt{x}[/tex3]

Observamos que a condição de existência da equação é [tex3]x>\sqrt 3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x>\sqrt 3[/tex3]

. Dai aplicamos a racionalização:


[tex3]\frac{x +\sqrt{3}}{\sqrt{x}+ \sqrt{x+\sqrt{3}}}\cdot\frac{\sqrt{x}- \sqrt{x+\sqrt{3}}}{\sqrt{x}- \sqrt{x+\sqrt{3}}}+\frac{x -\sqrt{3}}{\sqrt{x} - \sqrt{x- \sqrt{3}}}\cdot\frac{\sqrt{x} + \sqrt{x- \sqrt{3}}}{\sqrt{x} + \sqrt{x- \sqrt{3}}}=\sqrt{x} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{x +\sqrt{3}}{\sqrt{x}+ \sqrt{x+\sqrt{3}}}\cdot\frac{\sqrt{x}- \sqrt{x+\sqrt{3}}}{\sqrt{x}- \sqrt{x+\sqrt{3}}}+\frac{x -\sqrt{3}}{\sqrt{x} - \sqrt{x- \sqrt{3}}}\cdot\frac{\sqrt{x} + \sqrt{x- \sqrt{3}}}{\sqrt{x} + \sqrt{x- \sqrt{3}}}=\sqrt{x} [/tex3]

[tex3]-\frac{(x +\sqrt{3})(\sqrt{x}- \sqrt{x+\sqrt{3}})}{\sqrt{3}}+\frac{(x -\sqrt{3})(\sqrt{x} + \sqrt{x- \sqrt{3}})}{ \sqrt{3}}=\sqrt{x} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]-\frac{(x +\sqrt{3})(\sqrt{x}- \sqrt{x+\sqrt{3}})}{\sqrt{3}}+\frac{(x -\sqrt{3})(\sqrt{x} + \sqrt{x- \sqrt{3}})}{ \sqrt{3}}=\sqrt{x} [/tex3]

[tex3](x-\sqrt3)\left(\sqrt{x-\sqrt{3}}\right)+(x+\sqrt3)\left(\sqrt{x+\sqrt{3}}\right)=3\sqrt3\cdot\sqrt{x}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](x-\sqrt3)\left(\sqrt{x-\sqrt{3}}\right)+(x+\sqrt3)\left(\sqrt{x+\sqrt{3}}\right)=3\sqrt3\cdot\sqrt{x}[/tex3]

Como, [tex3]x>\sqrt 3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x>\sqrt 3[/tex3]

, então [tex3]x-\sqrt 3>0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x-\sqrt 3>0[/tex3]

e [tex3]x+\sqrt 3>0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x+\sqrt 3>0[/tex3]

, então podemos colocar dentro da raiz,


[tex3]\sqrt{(x-\sqrt{3})^3}+\sqrt{(x+\sqrt{3})^3}=\sqrt{27x}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{(x-\sqrt{3})^3}+\sqrt{(x+\sqrt{3})^3}=\sqrt{27x}[/tex3]

Elevando ao quadrado,


[tex3](x-\sqrt{3})^3+(x+\sqrt{3})^3+2\sqrt{(x-\sqrt{3})^3(x+\sqrt{3})^3}=27 x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](x-\sqrt{3})^3+(x+\sqrt{3})^3+2\sqrt{(x-\sqrt{3})^3(x+\sqrt{3})^3}=27 x[/tex3]

[tex3]2\sqrt{(x^2-3)^3}=9 x-2x^3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2\sqrt{(x^2-3)^3}=9 x-2x^3[/tex3]

Então, pela condição de existência,


[tex3]9x-2x^3>0\,\,\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,\,x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}\,\,\,ou\,\,\,0 < x <\frac{3\sqrt{2}}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]9x-2x^3>0\,\,\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,\,x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}\,\,\,ou\,\,\,0 < x <\frac{3\sqrt{2}}{2}[/tex3]

Continuando a equação e elevando ao quadrado,


[tex3]4(x^6-9x^4+27x^2-27)=81 x^2+4x^6-36x^4[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]4(x^6-9x^4+27x^2-27)=81 x^2+4x^6-36x^4[/tex3]

[tex3]x^2-4=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^2-4=0[/tex3]

[tex3](x+2)(x-2)=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](x+2)(x-2)=0[/tex3]

Como [tex3]2< x <\frac{3\sqrt{2}}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2< x <\frac{3\sqrt{2}}{2}[/tex3]

, então [tex3]x=2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x=2[/tex3]

é a solução.

Qualquer criança na Rússia faz essa hahaha.

Espero ter ajudado. Abraço.

[jomatlove]

Olá!

Tá errada sim!A questao postada tem no denominador raiz quadrada de x.Ou to errado???

[MatheusBorges]

Está correta sim...
Muito obrigado pelo apoio

[jomatlove]

Está correta sim...
Muito obrigado pelo apoio

O que?to muito confuso!como assim??
Ta aí postado!Vc postou a questao com raiz quadrada de x no numerador,mas foi respondida sem raiz.Dá pra ver??Ou sou eu vejo isso.
É só pra esclarecer!

[MatheusBorges]

Cheguei nessa parte da conta e travo de vez minha resolução
[tex3](x-\sqrt{3})[/tex3]

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[tex3](x-\sqrt{3})[/tex3]

([tex3]\sqrt{x-\sqrt{3}} = \sqrt{(x-\sqrt{3})^{3}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{x-\sqrt{3}} = \sqrt{(x-\sqrt{3})^{3}}[/tex3]

resolvi postar essa saber se podia fazer isso, mas ficou muito confuso, resolvi repostar com a equação inteira e o moderador a resolveu.