Sejam [tex3]A[/tex3]
, [tex3]B[/tex3]
, [tex3]C[/tex3]
e [tex3]D[/tex3]
, nesta ordem e em sentido anti-horário, pontos de uma circunferência e tais que [tex3]\overline{AB}[/tex3]
, [tex3]\overline{BC}[/tex3]
e [tex3]\overline{CD}[/tex3]
são respectivamente lados de um octógono, dodecágono e do polígono de vinte e quatro lados, todos regulares e inscritos na mesma circunferência.
Se [tex3]AD=4\sqrt{2}.cm[/tex3]
, a área do triângulo equilátero inscrito no mesmo círculo é:
a) [tex3]8\sqrt{3}.cm^{2}[/tex3]
b) [tex3]12\sqrt{3}.cm^{2}[/tex3]
c) [tex3]15\sqrt{3}.cm^{2}[/tex3]
d) [tex3]18\sqrt{3}.cm^{2}[/tex3]
e) [tex3]24\sqrt{3}.cm^{2}[/tex3]
Ps: Não tenho o gabarito, essa foi uma questão que caiu no Fuvestão, simulado que teve hoje do Objetivo, gabarito sai dia 26
Ensino Fundamental ⇒ Geometria Plana Tópico resolvido
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lincoln1000 
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Geometria Plana
"Como é que vão aprender sem incentivo de alguém, sem orgulho e sem respeito, sem saúde e sem paz."
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20:36
Re: Geometria Plana
Seja O o centro da circunferência e considerando o triângulo OAD, temos que;
- OD = OA = raio da circunferencia
- O ângulo <AOD vale: [tex3]\frac{360^o}{8}+\frac{360^o}{12}+\frac{360^o}{24} = 90^o[/tex3]
Portanto OAD é retângulo em O e o raio da circunferencia vale 4
logo a área pedida vale: [tex3]\frac{3\cdot 4^2 \sqrt{3}}{4} = \boxed {12\sqrt{3}}[/tex3]
____________________________________________________________________________________--
OBS: http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/mat ... rencia.htm
Qualquer dúvida só perguntar
- OD = OA = raio da circunferencia
- O ângulo <AOD vale: [tex3]\frac{360^o}{8}+\frac{360^o}{12}+\frac{360^o}{24} = 90^o[/tex3]
Portanto OAD é retângulo em O e o raio da circunferencia vale 4
logo a área pedida vale: [tex3]\frac{3\cdot 4^2 \sqrt{3}}{4} = \boxed {12\sqrt{3}}[/tex3]
____________________________________________________________________________________--
OBS: http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/mat ... rencia.htm
Qualquer dúvida só perguntar
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20:41
Re: Geometria Plana
Caiu essa questão no "Fuvestão" hj... kkkk vi aqui que pelo menos uma questão eu acertei...
That's all I'd do all day. I'd just be the catcher in the rye and all.
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20:47
Re: Geometria Plana
PS: eu não tinha lido o seu PS... kkkk vou postar uma figura para complementar a ideia do Ittalo25
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21:17
Re: Geometria Plana
Poderia por gentileza explicar essa parte? não entendi muito bem o raciocínio.
Muito grato
joaopcarv, agradeço, pois não consegui imaginar muito bem essa questão, valeu
Última edição: lincoln1000 (Sáb 23 Set, 2017 21:18). Total de 1 vez.
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21:34
Re: Geometria Plana
Sei que o esquema não está bom, mas é realmente difícil de fazer todos esses polígonos inscritos na mesma circunferência sem ficar uma bagunça...
Verde [tex3]\rightarrow[/tex3] Octógono ([tex3]n \ = \ 8[/tex3] lados)
Azul [tex3]\rightarrow[/tex3] Dodecágono ([tex3]n \ = \ 12[/tex3] lados)
O terceiro polígono, de 24 lados, eu não consegui fazer de forma a ficar "certinho" no desenho...
Temos a fórmula : [tex3]\theta \ = \ \frac{360^\circ}{n}[/tex3] , em que [tex3]\theta[/tex3] é o ângulo central do polígono (quando você liga os vértices ao centro) e [tex3]n[/tex3] é o número de lados desse polígono...
[tex3]A[/tex3] e [tex3]B[/tex3] são vértices do octógono... logo o ângulo central [tex3]A \widehat{O}B[/tex3] é :
[tex3]A \widehat{O}B \ = \ \frac{360^\circ}{8}[/tex3]
[tex3]A \widehat{O}B \ = \ 45^\circ[/tex3]
Por sua vez, [tex3]B[/tex3] e [tex3]C[/tex3] são vértices do dodecágono. Logo, [tex3]B \widehat{O}C[/tex3] é :
[tex3]B \widehat{O}C \ = \ \frac{360^\circ}{12}[/tex3]
[tex3]B \widehat{O}C \ = \ 30^\circ[/tex3]
E [tex3]C[/tex3] e [tex3]D[/tex3] são vértices do últimio polígono . Logo, [tex3]C \widehat{O}D[/tex3] é :
[tex3]C \widehat{O}D \ = \ \frac{360^\circ}{24}[/tex3]
[tex3]C \widehat{O}D \ = \ 15^\circ[/tex3] ...
Veja que : [tex3]A \widehat{O}D \ = \ A \widehat{O}B \ + \ B \widehat{O}C \ + \ C \widehat{O}D [/tex3]
[tex3]A \widehat{O}D \ = \ 45^\circ \ + \ 30^\circ \ + \ 15^\circ [/tex3]
[tex3]A \widehat{O}D \ = \ 90^\circ[/tex3] , então o [tex3]\Delta AOD[/tex3] é retângulo... mas observe que :
[tex3]AO \ = \ BO \ = R[/tex3] , logo ele é retângulo e isósceles...
Daí fica fácil, porque [tex3]cateto \ . \ \sqrt{2} \ = \ hipotenusa[/tex3]
Ou, no caso, [tex3]R \ . \ \sqrt{2} \ = \ AD[/tex3]
[tex3]R \ . \ \sqrt{2} \ = \ 4 \ . \sqrt{2}[/tex3]
[tex3]R \ = \ 4 \ cm \ \rightarrow[/tex3] É o raio da circunferência !
Temos a "fórmula rápida" envolvendo [tex3]\Delta[/tex3] equilátero inscrito em circunferência...
[tex3]l_{(teq)} \ = \ R \ . \ \sqrt{3}[/tex3] é o lado desse [tex3]\Delta[/tex3] equilátero...
Mas, no esquema 2, se você não quiser "decorar" isso, é o só fazer Pitágoras no triângulo colorido, em que os catetos são :
[tex3]\rightarrow[/tex3] Vermelho : Metade do [tex3]l_{(teq)}[/tex3] ;
[tex3]\rightarrow[/tex3] Amarelo : Apótema do [tex3]\Delta[/tex3] equilátero;
[tex3]\rightarrow[/tex3] Verde : Raio da circunferência circunscrita...
[tex3]l_{(teq)} \ = \ R \ . \ \sqrt{3}[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3] Sendo : [tex3]R \ = \ 4 \ cm[/tex3]
[tex3]l_{(teq)} \ = \ 4 \ . \ \sqrt{3} \ cm [/tex3] [tex3]\rightarrow [/tex3] Lado do [tex3]\Delta[/tex3] equilátero inscrito nacircunferência !
Por fim, [tex3]A_{(teq)} \ = \ \frac{l_{(teq)}^2 \ . \ \sqrt{3}}{4}[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3] Sendo : [tex3]l_{(teq)} \ = \ 4 \ . \ \sqrt{3} \ cm [/tex3] :
[tex3]A_{(teq)} \ = \ 12 \ . \ \sqrt{3} \ cm^2[/tex3] Área do [tex3]\Delta[/tex3] equilátero !
Verde [tex3]\rightarrow[/tex3] Octógono ([tex3]n \ = \ 8[/tex3] lados)
Azul [tex3]\rightarrow[/tex3] Dodecágono ([tex3]n \ = \ 12[/tex3] lados)
O terceiro polígono, de 24 lados, eu não consegui fazer de forma a ficar "certinho" no desenho...
Temos a fórmula : [tex3]\theta \ = \ \frac{360^\circ}{n}[/tex3] , em que [tex3]\theta[/tex3] é o ângulo central do polígono (quando você liga os vértices ao centro) e [tex3]n[/tex3] é o número de lados desse polígono...
[tex3]A[/tex3] e [tex3]B[/tex3] são vértices do octógono... logo o ângulo central [tex3]A \widehat{O}B[/tex3] é :
[tex3]A \widehat{O}B \ = \ \frac{360^\circ}{8}[/tex3]
[tex3]A \widehat{O}B \ = \ 45^\circ[/tex3]
Por sua vez, [tex3]B[/tex3] e [tex3]C[/tex3] são vértices do dodecágono. Logo, [tex3]B \widehat{O}C[/tex3] é :
[tex3]B \widehat{O}C \ = \ \frac{360^\circ}{12}[/tex3]
[tex3]B \widehat{O}C \ = \ 30^\circ[/tex3]
E [tex3]C[/tex3] e [tex3]D[/tex3] são vértices do últimio polígono . Logo, [tex3]C \widehat{O}D[/tex3] é :
[tex3]C \widehat{O}D \ = \ \frac{360^\circ}{24}[/tex3]
[tex3]C \widehat{O}D \ = \ 15^\circ[/tex3] ...
Veja que : [tex3]A \widehat{O}D \ = \ A \widehat{O}B \ + \ B \widehat{O}C \ + \ C \widehat{O}D [/tex3]
[tex3]A \widehat{O}D \ = \ 45^\circ \ + \ 30^\circ \ + \ 15^\circ [/tex3]
[tex3]A \widehat{O}D \ = \ 90^\circ[/tex3] , então o [tex3]\Delta AOD[/tex3] é retângulo... mas observe que :
[tex3]AO \ = \ BO \ = R[/tex3] , logo ele é retângulo e isósceles...
Daí fica fácil, porque [tex3]cateto \ . \ \sqrt{2} \ = \ hipotenusa[/tex3]
Ou, no caso, [tex3]R \ . \ \sqrt{2} \ = \ AD[/tex3]
[tex3]R \ . \ \sqrt{2} \ = \ 4 \ . \sqrt{2}[/tex3]
[tex3]R \ = \ 4 \ cm \ \rightarrow[/tex3] É o raio da circunferência !
Temos a "fórmula rápida" envolvendo [tex3]\Delta[/tex3] equilátero inscrito em circunferência...
[tex3]l_{(teq)} \ = \ R \ . \ \sqrt{3}[/tex3] é o lado desse [tex3]\Delta[/tex3] equilátero...
Mas, no esquema 2, se você não quiser "decorar" isso, é o só fazer Pitágoras no triângulo colorido, em que os catetos são :
[tex3]\rightarrow[/tex3] Vermelho : Metade do [tex3]l_{(teq)}[/tex3] ;
[tex3]\rightarrow[/tex3] Amarelo : Apótema do [tex3]\Delta[/tex3] equilátero;
[tex3]\rightarrow[/tex3] Verde : Raio da circunferência circunscrita...
[tex3]l_{(teq)} \ = \ R \ . \ \sqrt{3}[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3] Sendo : [tex3]R \ = \ 4 \ cm[/tex3]
[tex3]l_{(teq)} \ = \ 4 \ . \ \sqrt{3} \ cm [/tex3] [tex3]\rightarrow [/tex3] Lado do [tex3]\Delta[/tex3] equilátero inscrito nacircunferência !
Por fim, [tex3]A_{(teq)} \ = \ \frac{l_{(teq)}^2 \ . \ \sqrt{3}}{4}[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3] Sendo : [tex3]l_{(teq)} \ = \ 4 \ . \ \sqrt{3} \ cm [/tex3] :
[tex3]A_{(teq)} \ = \ 12 \ . \ \sqrt{3} \ cm^2[/tex3] Área do [tex3]\Delta[/tex3] equilátero !
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13:38
Re: Geometria Plana
Hmmm.. Entendi perfeitamente, muito obrigado!
"Como é que vão aprender sem incentivo de alguém, sem orgulho e sem respeito, sem saúde e sem paz."
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