Ensino Fundamental ⇒ Quadrilátero Tópico resolvido

[Flavio2020]

Em um quadrilátero ABCD as diagonais interceptam em Q. Em o prolongamento de BC marca-se um ponto F. Se a medida do ângulo BCA é igual a medida do ângulo FCD, a medida do ângulo BCA é igual a medida do ângulo CAD, AD=12, QC=3 e CD=7, calcular AB.
a)3
b)4
c)7
d)9
e)12

[Ittalo25]

trapezio.png (13.4 KiB) Exibido 693 vezes

BC//AD já que <ACB = <CAD

Perceba que 2 vermelhos e um verde dá 180 graus, logo no triângulo ACD temos que <CDA = vermelho. Sendo assim o triangulo CDA é isósceles com CD=CA=7.

Disso sai que QA = 4

Daí basta usar a semelhança dos triangulos DQA e BQC

[tex3]\frac{4}{12}=\frac{3}{BC}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{4}{12}=\frac{3}{BC}[/tex3]

[tex3]BC = 9[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]BC = 9[/tex3]

Daí usando lei dos cossenos em CAD:

[tex3]7^2 = 7^2 +12^2-2\cdot 7 \cdot 12 \cdot cos(vermelho)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]7^2 = 7^2 +12^2-2\cdot 7 \cdot 12 \cdot cos(vermelho)[/tex3]

[tex3]cos(vermelho) = \frac{6}{7}[/tex3]

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[tex3]cos(vermelho) = \frac{6}{7}[/tex3]

Usando lei dos cossenos em CAB:

[tex3]AB^2= 7^2 +9^2-2\cdot 7 \cdot 9 \cdot cos(vermelho)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]AB^2= 7^2 +9^2-2\cdot 7 \cdot 9 \cdot cos(vermelho)[/tex3]

[tex3]AB^2= 7^2 +9^2-2\cdot 7 \cdot 9 \cdot \frac{6}{7}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]AB^2= 7^2 +9^2-2\cdot 7 \cdot 9 \cdot \frac{6}{7}[/tex3]

[tex3]AB = \sqrt{22}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]AB = \sqrt{22}[/tex3]

Poderia dar uma conferida no enunciado?

[Flavio2020]

Gabarito é letra "D".
Um abraço fraterno!