Ensino Fundamental ⇒ Triângulo Tópico resolvido

[botelho]

Em um triângulo ABC, o ângulo B mede 135°. Traça-se a ceviana BF de modo que AF=7 e FC=18. Calcular a medida do ângulo BCA; se as medidas dos ângulos BAC=FBC.
a)30°
b)36°
c)37°
d)45°
e)53°

[rodBR]

Olá botelho, boa noite.

Solução:

IMG_20200114_232208~3.jpg (14.16 KiB) Exibido 626 vezes

Pela lei dos senos em [tex3]\Delta BFC[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\Delta BFC[/tex3]

:
[tex3]\frac{18}{\sen(\alpha)}=\frac{BF}{\sen(45^{\circ}-\alpha)}\\
\boxed{BF=\frac{18\sen(45^{\circ}-\alpha)}{\sen(\alpha)}} \ \ (*)[/tex3]

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[tex3]\frac{18}{\sen(\alpha)}=\frac{BF}{\sen(45^{\circ}-\alpha)}\\
\boxed{BF=\frac{18\sen(45^{\circ}-\alpha)}{\sen(\alpha)}} \ \ (*)[/tex3]

Lei dos Senos em [tex3]\Delta ABF[/tex3]

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[tex3]\Delta ABF[/tex3]

:
[tex3]\frac{BF}{\sen(\alpha)}=\frac{7}{\sen(135^{\circ}-\alpha)}\\
\boxed{BF=\frac{7\sen(\alpha)}{\sen(135^{\circ}-\alpha)}} \ \ (**)[/tex3]

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[tex3]\frac{BF}{\sen(\alpha)}=\frac{7}{\sen(135^{\circ}-\alpha)}\\
\boxed{BF=\frac{7\sen(\alpha)}{\sen(135^{\circ}-\alpha)}} \ \ (**)[/tex3]

De [tex3](*) = (**)[/tex3]

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[tex3](*) = (**)[/tex3]

, segue:
[tex3]\frac{18\sen(45^{\circ}-\alpha)}{\sen(\alpha)}=\frac{7\sen(\alpha)}{\sen(135^{\circ}-\alpha)}[/tex3]

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[tex3]\frac{18\sen(45^{\circ}-\alpha)}{\sen(\alpha)}=\frac{7\sen(\alpha)}{\sen(135^{\circ}-\alpha)}[/tex3]

Como [tex3]\sen(135^{\circ}-\alpha)=\sen(180^{\circ}-(135^{\circ}-\alpha))=\sen(45^{\circ}+\alpha)=\cos(45^{\circ}-\alpha)[/tex3]

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[tex3]\sen(135^{\circ}-\alpha)=\sen(180^{\circ}-(135^{\circ}-\alpha))=\sen(45^{\circ}+\alpha)=\cos(45^{\circ}-\alpha)[/tex3]

. Substituindo, temos:

[tex3]\frac{9\cdot2\sen(45^{\circ}-\alpha)}{\sen(\alpha)}=\frac{7\sen(\alpha)}{\cos(45^{\circ}-\alpha)}\\
9\cdot2\sen(45^{\circ}-\alpha)\cdot\cos(45^{\circ}-\alpha)=7\sen^2(\alpha)[/tex3]

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[tex3]\frac{9\cdot2\sen(45^{\circ}-\alpha)}{\sen(\alpha)}=\frac{7\sen(\alpha)}{\cos(45^{\circ}-\alpha)}\\
9\cdot2\sen(45^{\circ}-\alpha)\cdot\cos(45^{\circ}-\alpha)=7\sen^2(\alpha)[/tex3]

. Do seno do arco duplo:
[tex3]9\sen(90^{\circ}-2\alpha)=7\sen^2(\alpha)[/tex3]

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[tex3]9\sen(90^{\circ}-2\alpha)=7\sen^2(\alpha)[/tex3]

. De [tex3]\sen(90^{\circ}-x)=\cos(x)[/tex3]

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[tex3]\sen(90^{\circ}-x)=\cos(x)[/tex3]

:
[tex3]9\cos(2\alpha)=7\sen^2(\alpha)[/tex3]

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[tex3]9\cos(2\alpha)=7\sen^2(\alpha)[/tex3]

. Do cosseno do arco duplo:
[tex3]9\cdot(1-2\sen^2(\alpha))=7\sen^2(\alpha)\\
9-18\sen^2(\alpha)=7\sen^2(\alpha)\\
25\sen^2(\alpha)=9\\
\sen^2(\alpha)=\frac{9}{25}\\
\sen(\alpha)=\pm\frac{3}{5}[/tex3]

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[tex3]9\cdot(1-2\sen^2(\alpha))=7\sen^2(\alpha)\\
9-18\sen^2(\alpha)=7\sen^2(\alpha)\\
25\sen^2(\alpha)=9\\
\sen^2(\alpha)=\frac{9}{25}\\
\sen(\alpha)=\pm\frac{3}{5}[/tex3]

Assim,
[tex3]\sen(\alpha)=\frac{3}{5}\implies\boxed{\alpha =37^{\circ}}[/tex3]

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[tex3]\sen(\alpha)=\frac{3}{5}\implies\boxed{\alpha =37^{\circ}}[/tex3]

att>>rodBR

[snooplammer]

Apenas um adendo, [tex3]\sen(37^\circ) \approx \frac{3}{5}[/tex3]

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[tex3]\sen(37^\circ) \approx \frac{3}{5}[/tex3]

, isso é uma aproximação. Os peruanos gostam de usar a igualdade, mas não são iguais.

[rodBR]

Apenas um adendo , [tex3]\sen(37^{\circ})\approx\frac{3}{5}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sen(37^{\circ})\approx\frac{3}{5}[/tex3]

, isso é uma aproximação. Os peruanos gostas de usar a igualdade, mas não são iguais.

Exatamente snooplammer.