Ensino Fundamental

Tem-se um quadrado ABCD de lado igual a 2m;com centro no ponto médio do lado BC, e com raio igual a [tex3]\sqrt{2}[/tex3] m traça-se um arco de circunferência. Calcular a área da região compreendida pelo arco da circunferência e a circunferência inscrita do quadrado ABCD.
a)[tex3]\pi[/tex3] -2
b)[tex3]\pi[/tex3]
c)[tex3]\pi[/tex3] +2
d)[tex3]\pi[/tex3] +1
e)[tex3]\pi[/tex3] -1

Mensagem não lidapor **Lonel** » Qua 19 Jul, 2017 09:47 · Mensagem não lida por **Lonel** » Qua 19 Jul, 2017 09:47

Desenho do problema:

Queremos a área em amarelo. [tex3]H[/tex3] e [tex3]G[/tex3] são pontos de intersecção do incírculo do quadrado [tex3]ABCD[/tex3] de centro [tex3]F[/tex3] com os lados [tex3]\overline{AB}[/tex3] e [tex3]\overline{CD}[/tex3] , respectivamente. Como o raio do incírculo vale 1, assim [tex3]\overline{FM}=1[/tex3] . Logo os triângulos [tex3]\triangle FHM[/tex3] e [tex3]\triangle FGM[/tex3] são isósceles e retângulos; note que sua hipotenusa vale [tex3]cateto\cdot\sqrt{2}[/tex3] , e isso acontece quando os ângulos que não são a hipotenusa valem [tex3]45°[/tex3] . Analisando [tex3]\triangle HGM[/tex3] , temos que [tex3]\angle HMG=45°+45°\Rightarrow \angle HMG=90°[/tex3] .

A área em amarelo então será:

Área do setor circular [tex3]HMG[/tex3] + metade da área do incírculo do quadrado - área do [tex3]\triangle GHM[/tex3]

[tex3]Area=\frac{\pi(\sqrt{2})^2}{4}+\frac{\pi(1)^2}{2}-\frac{2\cdot1}{2}[/tex3]

[tex3]Area=\pi-1[/tex3]

Alternativa e).

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