Ensino FundamentalTrapézio Retângulo

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Angelita
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Trapézio Retângulo

Mensagem não lida por Angelita »

Em um trapézio retângulo ABCD, reto em A e B; está circunscrito a uma circunferência de modo que M e N são os pontos de tangência com BC e AD respectivamente,BN intersecta AM em P e CN intersecta MD em que Q. Se AB=4 e CD=5, calcular PQ.
a)[tex3]\frac{3\sqrt[]{13}}{7}[/tex3]
b)[tex3]\frac{5\sqrt{13}}{3}[/tex3]
c)[tex3]\frac{5\sqrt{13}}{7}[/tex3]
d)[tex3]\frac{3\sqrt{13}}{5}[/tex3]
e)[tex3]\frac{3\sqrt{13}}{4}[/tex3]




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Lonel
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Re: Trapézio Retângulo

Mensagem não lida por Lonel »

Fiz por geometria analítica. Esperando o undefinied3 postar a solução clássica, que não consegui achar.

Como [tex3]\overline{AB}=4[/tex3] , logo o raio do incírculo vale [tex3]2[/tex3] . Seja [tex3]O[/tex3] um ponto em [tex3]\overline{BC}[/tex3] em que [tex3]\overline{DO}\perp\overline{BC}[/tex3] . Temos que o [tex3]\triangle DOC[/tex3] é um triângulo pitagórico [tex3]3,4,5[/tex3] , assim [tex3]\overline{CO}=3[/tex3] . Como [tex3]\overline{AD}\equiv\overline{BO}[/tex3] , e [tex3]ABCD[/tex3] é um quadrilátero circunscrito, temos que [tex3]\overline{AD}+\overline{BO}+\overline{CO}=\overline{AB}+\overline{CD}\Rightarrow\overline{AD}=3,\overline{BO}=3,\overline{CO}=3[/tex3] .
trapezo.png
Sendo [tex3]B(0,0)[/tex3] , então [tex3]A(0,4);D(3,4);C(6,0)[/tex3] . Como [tex3]A[/tex3] e [tex3]B[/tex3] são retos, assim [tex3]\overline{MN}\parallel\overline{AB}[/tex3] , e como [tex3]\overline{MN}[/tex3] dista 2 de [tex3]\overline{AB}[/tex3] , logo [tex3]M(0,2);N(2,4)[/tex3] . Como [tex3]ABMN[/tex3] é um retângulo, logo a intersecção das suas diagonais (ponto [tex3]P[/tex3] ) estará no centro deste retângulo. Assim [tex3]P(1,2)[/tex3] . Para achar [tex3]Q[/tex3] :

Equação de [tex3]\overline{DM}[/tex3] :

Temos que quando [tex3]x=2\Rightarrow y=0[/tex3] (ponto [tex3]M[/tex3] ) e [tex3]x=3\Rightarrow y=4[/tex3] (ponto [tex3]D[/tex3] ). Assim:

Sendo a equação genérica [tex3]y=ax+b[/tex3]

[tex3]\begin{cases}
2a+b=0 \\
3a+b=4
\end{cases}[/tex3]

Resolvendo, obtemos [tex3]y=4x-8[/tex3]

Analogamente, para a equação de [tex3]\overline{CN}[/tex3] , encontramos [tex3]y=-x+6[/tex3]

Igualando as equações, descobrimos a intersecção das diagonais, que é o ponto [tex3]Q[/tex3] . Encontraremos então que [tex3]Q(\frac{14}{5},\frac{16}{5})[/tex3]

Assim, podemos fechar um triângulo retângulo com [tex3]P[/tex3] e [tex3]Q[/tex3] , sendo [tex3]\overline{PQ}[/tex3] a hipotenusa. Como temos as localizações de [tex3]P[/tex3] e [tex3]Q[/tex3] , seus catetos são conhecidos, no qual valem [tex3]\frac{14}{5}-1[/tex3] e [tex3]\frac{16}{5}-2[/tex3] . Aplicando o teorema de Pitágoras, encontramos [tex3]\overline{PQ}=\frac{3\sqrt{13}}{5}[/tex3] , portanto a alternativa correta é a d).

Deste exercícios, surgiu uma dúvida:

Como [tex3]MCDN[/tex3] é um trapézio retângulo em [tex3]M[/tex3] e [tex3]N[/tex3] , [tex3]\overline{MN}[/tex3] é um diâmetro, os segmentos que unem os pontos [tex3]C[/tex3] , [tex3]D[/tex3] , [tex3]M[/tex3] , [tex3]N[/tex3] são tangentes ao semicírculo que [tex3]\overline{MN}[/tex3] é o diâmetro, posso afirmar que a intersecção das diagonais deste trapézio estará na mesma posição "y" da tangencia do semicírculo com [tex3]\overline{CD}[/tex3] , e a distância desta intersecção (no meu desenho, o ponto [tex3]G[/tex3] ) a intersecção das diagonais e da interseção das diagonais a [tex3]\overline{MN}[/tex3] é sempre a mesma? Existe alguma propriedade sobre isso? Parece que isso é sempre verdade, de acordo com o Geogebra, mas não consegui achar nada na net e nem demonstrar... :(:(:( Alguem poderia me ajudar nessa?

Última edição: Lonel (Seg 10 Jul, 2017 10:49). Total de 2 vezes.



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undefinied3
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Re: Trapézio Retângulo

Mensagem não lida por undefinied3 »

Eu tinha feito essa na carteira da escola mas não postei a resolução aqui no forum (provavelmente porque esqueci, não lembro). Vou aproveitar a sua figura e apenas adicionar o que for necessário, e vou acabar repetindo certas coisas de sua resolução.

ANMB é retângulo de lados 4 e 2, assim sua diagonal é [tex3]\sqrt{16+4}=2\sqrt{5}[/tex3] e [tex3]PN=\sqrt{5}[/tex3]
Transpondo AB para DT, fechamos o triângulo pitagórico 3 4 5.
Chamando ND de x, veja que ND=DG=x e GC=5-x. Por outro lado, MC=3+x, mas GC=MC (tangência), assim 3+x=5-x -> x=1
NQD é semelhante a CQM, assim: [tex3]\frac{1}{4}=\frac{NQ}{QC} \rightarrow \frac{1}{5}=\frac{NQ}{NQ+QC}[/tex3] , mas [tex3]CM=MN=4[/tex3] , segue que [tex3]NQ+CQ=4\sqrt{2}[/tex3] e então [tex3]NQ=\frac{4\sqrt{2}}{5}[/tex3]
O ângulo PNQ é a soma de 45 com [tex3]arccos\frac{2}{\sqrt{5}}[/tex3] . Aplicando a lei dos cossenos no triângulo PNQ:
[tex3]PQ^2=5+\frac{32}{25}-2.\sqrt{5}.\frac{4\sqrt{2}}{5}.cos(45+arccos\frac{2}{\sqrt{5}})[/tex3]
Antes, calculemos esse cosseno:
[tex3]cos(45)cos(arcccos\frac{2}{\sqrt{5}})-sen(45)sen(arccos\frac{2}{\sqrt{5}})=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}-\frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{5}}[/tex3]
Então:
[tex3]PQ^2=5+\frac{32}{25}-2.\sqrt{5}.\frac{4\sqrt{2}}{5}.\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{5}}=5+\frac{32}{25}-\frac{40}{25}=\frac{117}{25}[/tex3]
[tex3]\therefore PQ=\frac{3\sqrt{13}}{5}[/tex3]

Quanto a sua dúvida, Lonel, não entendi direito o que quis dizer :x


Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.

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Lonel
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Re: Trapézio Retângulo

Mensagem não lida por Lonel »

undefinied3 escreveu: Quanto a sua dúvida, Lonel, não entendi direito o que quis dizer
Suponha que eu tenha um diâmetro qualquer AB. Formando 90 graus com cada uma de suas pontas, construo BC e AD de tal modo que BC||AD. Agora uno BC de modo que BC intersecte na semicircunferencia formada pelo diâmetro AB no ponto P. Una agora BD e AC, e chame o ponto de intersecção de K. Usando o geogebra, notei que:

A perpendicular a AB que passa por K sempre intersecta P. Vamos dizer que essa perpendicular intersecte AB em Q. Notei tambem que KQ=KP.

Existe alguma propriedade ou prova matemática sobre isso, ou foi só coiencidencia (que eu duvido muito que seja)? Tentei googlar isso, e não achei nada.

Imagem ilustrativa:
Yeehaw.png



Auto Excluído (ID:12031)
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Re: Trapézio Retângulo

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:12031) »

Sendo AD = a e BC = b, prova-se pela semelhança dos triângulos: [tex3]AQK[/tex3] e [tex3]ABC[/tex3]

que [tex3]AQ = QK \frac{AB}{b}[/tex3]
e analogamente com [tex3]BQK[/tex3] e [tex3]BAD[/tex3]
[tex3]BQ = QK \frac{AB}{a}[/tex3]
somando as duas expressões [tex3]AB = AB \cdot QK \cdot(\frac1a+\frac1b)[/tex3]
de onde [tex3]QK = \frac{ab}{a+b}[/tex3] e [tex3]AQ = AB\frac{a}{a+b}[/tex3]

como P é ponto de tangencia [tex3]DP =a[/tex3] e [tex3]PC= b[/tex3]
seja [tex3]Q'[/tex3] ponto que a reta paralela a AB passando por D cruza a perpendicular à AB por P. temos
[tex3]\frac{DQ'}a = \frac{AB}{a+b}[/tex3]
logo
[tex3]DQ' = \frac{aAB}{a+b}[/tex3]
o que significa que prolongando PQ' até ela cruzar AB chegamos em Q.
mais uma curiosidade [tex3]PK = KQ = \frac{ab}{a+b}[/tex3]




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