Ensino FundamentalEquação do 2º grau Tópico resolvido

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FISMAQUIM
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Equação do 2º grau

Mensagem não lida por FISMAQUIM »

Sejam [tex3]x_{1}[/tex3] e [tex3]x_{2}[/tex3] números inteiros, raízes da equação 3x² + 36x + C = 0. Sabendo que [tex3]x_{1}[/tex3] < 0 e [tex3]x_{2}[/tex3] < 0, determine o número de possíveis valores para o coeficiente C.

Última edição: FISMAQUIM (Dom 25 Jun, 2017 21:23). Total de 1 vez.



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Lonel
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Re: Equação do 2º grau

Mensagem não lida por Lonel »

Uma equação de segundo grau da forma [tex3]ax^2+bx+c=0[/tex3] pode ser escrita como [tex3]a(x-x_1)(x-x_2)=0[/tex3] , sendo [tex3]x_1[/tex3] e [tex3]x_2[/tex3] suas raízes.

Temos então que:

[tex3]3(x-x_1)(x-x_2)=0[/tex3]

[tex3]3(x^2-x_1x-x_2x+x_1x_2)=0[/tex3]

É fácil de perceber que o coeficiente [tex3]b[/tex3] será dado por [tex3]3(-x_1x-x_2x)[/tex3] , pois são os únicos termos que levam [tex3]x[/tex3] . Como [tex3]b=36[/tex3] temos que:

[tex3]3(-x_1x-x_2x)=36[/tex3]

[tex3]-x_1x-x_2x=12\Rightarrow x_1+x_2=-12[/tex3]

Como [tex3]x_1\leq 0[/tex3] e [tex3]x_2\leq 0[/tex3] e eles são inteiros, temos os seguintes pares possíveis para [tex3](x_1,x_2)[/tex3] :

[tex3](-12,0);(-11,-1);(-10,-2);...(0,-12)[/tex3]

Note agora que o termo [tex3]C=x_1x_2[/tex3] . Como a ordem dos fatores não altera o produto, temos que eliminar as repetições de pares que a multiplicação daria igual, pois seus fatores estão apenas trocados de posição:

Como cada termo dos pares começa em 0 e ao final da sequencia termina em -12 (ou vice versa), temos então 13 pares para as raízes. Porém, um desses pares não há troca dos fatores [tex3](-6,-6)[/tex3] , então o número total de valores para [tex3]C[/tex3] será de [tex3]\frac{12}{2}+1=7[/tex3]

Então há 7 valores possíveis para [tex3]C[/tex3] .

Última edição: Lonel (Dom 25 Jun, 2017 22:31). Total de 2 vezes.



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jomatlove
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Jun 2017 25 23:15

Re: Equação do 2º grau

Mensagem não lida por jomatlove »

Resolução:
[tex3]3x^{2}+36x+C=[/tex3]
[tex3]x^{2}+12x+\frac{C}{3}=0[/tex3]
Usando o processo de completar quadrado:
[tex3]x^{2}+12x+36=36-\frac{C}{3}[/tex3]
[tex3](x+6)^{2}=36-\frac{C}{3}[/tex3]
[tex3]x+6=\pm \sqrt{36-\frac{C}{3}}[/tex3]
[tex3]x=-6\pm \sqrt{36-\frac{C}{3}}[/tex3]
Então,devemos ter:
1.A condição de existencia:[tex3]36-\frac{C}{3}\geq 0\rightarrow C\leq 108[/tex3]
2.Valores de C que torna a expressão no radicando um quadrado perfeito:
*[tex3]36-\frac{C}{3}=0\rightarrow C=108\rightarrow x_{1}=x_{2}=-6[/tex3] (a questão não diz que as raízes são distintas)
*[tex3]36-\frac{C}{3}=1\rightarrow C=105\rightarrow x_{1}=-5,x_{2}=-7[/tex3]
*[tex3]36-\frac{C}{3}=4\rightarrow C=96\rightarrow x_{1}=-4,x_{2}=-8[/tex3]
*[tex3]36-\frac{C}{3}=9\rightarrow C=71\rightarrow x_{1}=-3,x_{2}=-9[/tex3]
*[tex3]36-\frac{C}{3}=16\rightarrow C=60\rightarrow x_{1}=-2,x_{2}=-10[/tex3]
*[tex3]36-\frac{C}{3}=25\rightarrow C=33\rightarrow x_{1}=-1,x_{2}=-11[/tex3]
*[tex3]36-\frac{C}{3}=36\rightarrow C=0\rightarrow x_{1}=0,x_{2}=-12[/tex3]
*[tex3]36-\frac{C}{3}=49\rightarrow C=-39\rightarrow x_{1}=1,x_{2}=-13[/tex3] (não serve,pois por condição as raízes são inteiros negativos.)
Continuando,vamos sempre obter uma raiz positiva e outra negativa.
Então,temos 7 possíveis valores para C.
:):)

Última edição: jomatlove (Dom 25 Jun, 2017 23:15). Total de 1 vez.


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