Ensino Fundamental ⇒ (Livro Edgard de Alencar Filho) Geometria Tópico resolvido

[Snowden]

As bases de um trapézio isósceles medem 6 cm e 8 cm, e altura, 7 cm. Calcular o raio do círculo circunscrito a este trapézio.

[Lonel]

Segue o desenho do problema:

geogebra-export.png (46.08 KiB) Exibido 991 vezes

Note que o raio do circuncírculo do [tex3]\triangle BED[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\triangle BED[/tex3]

é o mesmo raio do circuncírculo do trapézio, pois não existe mais de um ponto onde a distância dele aos vértices deste triângulo sejam iguais. Assim, basta calcularmos o raio do circuncírculo do triângulo.

Primeiro vamos descobrir todos os lados deste triângulo:

Usando o teorema de Pitágoras no [tex3]\triangle BFD[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\triangle BFD[/tex3]

:

[tex3]\overline{BD}^2=\overline{BF}^2+\overline{DF}^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\overline{BD}^2=\overline{BF}^2+\overline{DF}^2[/tex3]

[tex3]\overline{BD}^2=50\Rightarrow\overline{BD}=5\sqrt{2}cm[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\overline{BD}^2=50\Rightarrow\overline{BD}=5\sqrt{2}cm[/tex3]

Note que o [tex3]\triangle BEF[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\triangle BEF[/tex3]

é a metade de um quadrado, pois seus catetos são iguais. Segue então que sua hipotenusa será [tex3]cateto\sqrt{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]cateto\sqrt{2}[/tex3]

, logo [tex3]\overline{BE}=7\sqrt{2}cm[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\overline{BE}=7\sqrt{2}cm[/tex3]

Sendo [tex3]R[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]R[/tex3]

o raio do circuncírculo do [tex3]\triangle BED[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\triangle BED[/tex3]

, temos como calcular a área do triângulo de duas formas:

[tex3]\frac{\overline{ED}\cdot\overline{BF}}{2}=\frac{\overline{ED}\cdot\overline{BD}\cdot\overline{BE}}{4R}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\overline{ED}\cdot\overline{BF}}{2}=\frac{\overline{ED}\cdot\overline{BD}\cdot\overline{BE}}{4R}[/tex3]

[tex3]\frac{8\cdot7}{2}=\frac{8\cdot5\sqrt{2}\cdot7\sqrt{2}}{4R}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{8\cdot7}{2}=\frac{8\cdot5\sqrt{2}\cdot7\sqrt{2}}{4R}[/tex3]

[tex3]R=5cm[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]R=5cm[/tex3]

Logo o raio do circuncírculo do trapézio tambem vale 5cm.