- area.jpg (16.34 KiB) Exibido 699 vezes
(B) [tex3]6\ m^2[/tex3] .
(C) [tex3]12\ m^2[/tex3] .
(D) [tex3]9\ m^2[/tex3] .
(E) [tex3]16\ m^2[/tex3] .
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Ensino Fundamental ⇒ Geometria Plana Tópico resolvido
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ALDRIN
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Jun 2017
12
13:23
Geometria Plana
Calcule a área da região triangular [tex3]OFC[/tex3]
, se a área do quadrado [tex3]ABCD[/tex3]
é [tex3]144\ m^2[/tex3]
.
(A) [tex3]8\ m^2[/tex3] .
(B) [tex3]6\ m^2[/tex3] .
(C) [tex3]12\ m^2[/tex3] .
(D) [tex3]9\ m^2[/tex3] .
(E) [tex3]16\ m^2[/tex3] .
(A) [tex3]8\ m^2[/tex3] .
(B) [tex3]6\ m^2[/tex3] .
(C) [tex3]12\ m^2[/tex3] .
(D) [tex3]9\ m^2[/tex3] .
(E) [tex3]16\ m^2[/tex3] .
Editado pela última vez por ALDRIN em 12 Jun 2017, 13:23, em um total de 1 vez.
"O ângulo inscrito no semicírculo é reto."
Ao descobrir essa verdade Tales fez sacrifício aos deuses.
Hoefer, H., 80.
Ao descobrir essa verdade Tales fez sacrifício aos deuses.
Hoefer, H., 80.
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Lonel
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Jun 2017
13
11:07
Re: Geometria Plana
Tentei fazer sem ser por geometria analítica, mas não consegui 
Como a área do quadrado [tex3]ABCD[/tex3] é [tex3]144m^2[/tex3] , logo seu lado vai equivaler a [tex3]\sqrt{144}m=12m[/tex3] . Como [tex3]M[/tex3] é o ponto médio de [tex3]\overline{CD}[/tex3] , então [tex3]\overline{DM}=\overline{CM}=6m[/tex3]
Note que [tex3]\angle BMC+\angle CBM+90^{\circ}=180^{\circ}[/tex3] , e como [tex3]\angle DME+\angle BMC+90^{\circ}=180^{\circ}[/tex3] , logo encontramos que [tex3]\angle CBM=\angle DME[/tex3] , e [tex3]\angle BMC=\angle DEM[/tex3] . Usando [tex3]\triangle BMC[/tex3] , temos que [tex3]\tg(\angle BMC)=\frac{\overline{BC}}{\overline{CM}}\Rightarrow\tg(\angle BMC)=\frac{12m}{6m}\Rightarrow\tg(\angle BMC)=2[/tex3]
Utilizando o [tex3]\triangle EDM[/tex3] , temos que [tex3]\tg(\angle DEM)=\frac{\overline{DM}}{\overline{DE}}\Rightarrow2=\frac{6}{\overline{DE}}\Rightarrow\overline{DE}=3m[/tex3]
Calculando agora as equações para as retas que correspondem aos segmentos de reta [tex3]\overline{AC},\overline{BM},\overline{EF}[/tex3] , utilizando [tex3]D(0,0)[/tex3] :
[tex3]\overline{AC}[/tex3] :
[tex3]y=ax+b[/tex3]
[tex3]12=0a+b\Rightarrow b=12[/tex3]
[tex3]0=12a+b\Rightarrow a=-\frac{12}{12}\Rightarrow a=-1[/tex3]
[tex3]y=-x+12[/tex3]
[tex3]\overline{BM}[/tex3] :
[tex3]y=ax+b[/tex3]
[tex3]12=12a+b[/tex3]
[tex3]0=6a+b[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
12a+b=12 \\
6a+b=0
\end{cases}[/tex3]
[tex3]b=-12[/tex3]
Substituindo este valor em [tex3]6a+b=0[/tex3] , encontramos [tex3]a=2[/tex3]
[tex3]y=2x-12[/tex3]
Encontrando as coordenadas do ponto [tex3]O[/tex3] :
O ponto [tex3]O[/tex3] é a intersecção de [tex3]\overline{AC}[/tex3] com [tex3]\overline{BM}[/tex3] , logo basta igualar as equações das retas que encontramos as coordenadas de [tex3]O[/tex3] :
[tex3]-x+12=2x-12[/tex3]
[tex3]3x=24[/tex3]
[tex3]x=8\Rightarrow y=4[/tex3]
Agora calcularemos a equação para o segmento de reta [tex3]\overline{EF}[/tex3] :
[tex3]y=ax+b[/tex3]
[tex3]3=0a+b\Rightarrow b=3[/tex3]
[tex3]4=8a+3\Rightarrow a=\frac{1}{8}[/tex3]
[tex3]y=\frac{x}{8}+3[/tex3]
Então se o valor de x=12, encontramos o valor do segmento de reta [tex3]\overline{CF}[/tex3] :
[tex3]y=\frac{12}{8}+3[/tex3]
[tex3]y=\frac{9}{2}\Rightarrow \overline{CF}=\frac{9}{2}m[/tex3]
Note que a altura do [tex3]\triangle OFC[/tex3] é justamente a posição "x" do ponto [tex3]C[/tex3] menos a posição "x" do ponto [tex3]O[/tex3] . Logo, a altura deste triângulo valerá [tex3]12m-8m=4m[/tex3] .
Finalmente, a área do [tex3]\triangle OFC=\frac{\overline{CF}\cdot4m}{2}[/tex3]
[tex3]Area=\frac{{9m}\cdot2m}{2}[/tex3]
[tex3]Area=9m^2[/tex3]
Assim, a alternativa correta é a (D)[tex3]9\ m^2[/tex3]
Como a área do quadrado [tex3]ABCD[/tex3] é [tex3]144m^2[/tex3] , logo seu lado vai equivaler a [tex3]\sqrt{144}m=12m[/tex3] . Como [tex3]M[/tex3] é o ponto médio de [tex3]\overline{CD}[/tex3] , então [tex3]\overline{DM}=\overline{CM}=6m[/tex3]
Note que [tex3]\angle BMC+\angle CBM+90^{\circ}=180^{\circ}[/tex3] , e como [tex3]\angle DME+\angle BMC+90^{\circ}=180^{\circ}[/tex3] , logo encontramos que [tex3]\angle CBM=\angle DME[/tex3] , e [tex3]\angle BMC=\angle DEM[/tex3] . Usando [tex3]\triangle BMC[/tex3] , temos que [tex3]\tg(\angle BMC)=\frac{\overline{BC}}{\overline{CM}}\Rightarrow\tg(\angle BMC)=\frac{12m}{6m}\Rightarrow\tg(\angle BMC)=2[/tex3]
Utilizando o [tex3]\triangle EDM[/tex3] , temos que [tex3]\tg(\angle DEM)=\frac{\overline{DM}}{\overline{DE}}\Rightarrow2=\frac{6}{\overline{DE}}\Rightarrow\overline{DE}=3m[/tex3]
Calculando agora as equações para as retas que correspondem aos segmentos de reta [tex3]\overline{AC},\overline{BM},\overline{EF}[/tex3] , utilizando [tex3]D(0,0)[/tex3] :
[tex3]\overline{AC}[/tex3] :
[tex3]y=ax+b[/tex3]
[tex3]12=0a+b\Rightarrow b=12[/tex3]
[tex3]0=12a+b\Rightarrow a=-\frac{12}{12}\Rightarrow a=-1[/tex3]
[tex3]y=-x+12[/tex3]
[tex3]\overline{BM}[/tex3] :
[tex3]y=ax+b[/tex3]
[tex3]12=12a+b[/tex3]
[tex3]0=6a+b[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
12a+b=12 \\
6a+b=0
\end{cases}[/tex3]
[tex3]b=-12[/tex3]
Substituindo este valor em [tex3]6a+b=0[/tex3] , encontramos [tex3]a=2[/tex3]
[tex3]y=2x-12[/tex3]
Encontrando as coordenadas do ponto [tex3]O[/tex3] :
O ponto [tex3]O[/tex3] é a intersecção de [tex3]\overline{AC}[/tex3] com [tex3]\overline{BM}[/tex3] , logo basta igualar as equações das retas que encontramos as coordenadas de [tex3]O[/tex3] :
[tex3]-x+12=2x-12[/tex3]
[tex3]3x=24[/tex3]
[tex3]x=8\Rightarrow y=4[/tex3]
Agora calcularemos a equação para o segmento de reta [tex3]\overline{EF}[/tex3] :
[tex3]y=ax+b[/tex3]
[tex3]3=0a+b\Rightarrow b=3[/tex3]
[tex3]4=8a+3\Rightarrow a=\frac{1}{8}[/tex3]
[tex3]y=\frac{x}{8}+3[/tex3]
Então se o valor de x=12, encontramos o valor do segmento de reta [tex3]\overline{CF}[/tex3] :
[tex3]y=\frac{12}{8}+3[/tex3]
[tex3]y=\frac{9}{2}\Rightarrow \overline{CF}=\frac{9}{2}m[/tex3]
Note que a altura do [tex3]\triangle OFC[/tex3] é justamente a posição "x" do ponto [tex3]C[/tex3] menos a posição "x" do ponto [tex3]O[/tex3] . Logo, a altura deste triângulo valerá [tex3]12m-8m=4m[/tex3] .
Finalmente, a área do [tex3]\triangle OFC=\frac{\overline{CF}\cdot4m}{2}[/tex3]
[tex3]Area=\frac{{9m}\cdot2m}{2}[/tex3]
[tex3]Area=9m^2[/tex3]
Assim, a alternativa correta é a (D)[tex3]9\ m^2[/tex3]
Editado pela última vez por Lonel em 13 Jun 2017, 11:07, em um total de 2 vezes.
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