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(B) [tex3]6\ m^2[/tex3] .
(C) [tex3]12\ m^2[/tex3] .
(D) [tex3]9\ m^2[/tex3] .
(E) [tex3]16\ m^2[/tex3] .
Ensino Fundamental ⇒ Geometria Plana Tópico resolvido
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ALDRIN 
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Jun 2017
12
13:23
Geometria Plana
Calcule a área da região triangular [tex3]OFC[/tex3]
, se a área do quadrado [tex3]ABCD[/tex3]
é [tex3]144\ m^2[/tex3]
.
(A) [tex3]8\ m^2[/tex3] .
(B) [tex3]6\ m^2[/tex3] .
(C) [tex3]12\ m^2[/tex3] .
(D) [tex3]9\ m^2[/tex3] .
(E) [tex3]16\ m^2[/tex3] .
(A) [tex3]8\ m^2[/tex3] .
(B) [tex3]6\ m^2[/tex3] .
(C) [tex3]12\ m^2[/tex3] .
(D) [tex3]9\ m^2[/tex3] .
(E) [tex3]16\ m^2[/tex3] .
Última edição: ALDRIN (Seg 12 Jun, 2017 13:23). Total de 1 vez.
"O ângulo inscrito no semicírculo é reto."
Ao descobrir essa verdade Tales fez sacrifício aos deuses.
Hoefer, H., 80.
Ao descobrir essa verdade Tales fez sacrifício aos deuses.
Hoefer, H., 80.
Jun 2017
13
11:07
Re: Geometria Plana
Tentei fazer sem ser por geometria analítica, mas não consegui 
Como a área do quadrado [tex3]ABCD[/tex3] é [tex3]144m^2[/tex3] , logo seu lado vai equivaler a [tex3]\sqrt{144}m=12m[/tex3] . Como [tex3]M[/tex3] é o ponto médio de [tex3]\overline{CD}[/tex3] , então [tex3]\overline{DM}=\overline{CM}=6m[/tex3]
Note que [tex3]\angle BMC+\angle CBM+90^{\circ}=180^{\circ}[/tex3] , e como [tex3]\angle DME+\angle BMC+90^{\circ}=180^{\circ}[/tex3] , logo encontramos que [tex3]\angle CBM=\angle DME[/tex3] , e [tex3]\angle BMC=\angle DEM[/tex3] . Usando [tex3]\triangle BMC[/tex3] , temos que [tex3]\tg(\angle BMC)=\frac{\overline{BC}}{\overline{CM}}\Rightarrow\tg(\angle BMC)=\frac{12m}{6m}\Rightarrow\tg(\angle BMC)=2[/tex3]
Utilizando o [tex3]\triangle EDM[/tex3] , temos que [tex3]\tg(\angle DEM)=\frac{\overline{DM}}{\overline{DE}}\Rightarrow2=\frac{6}{\overline{DE}}\Rightarrow\overline{DE}=3m[/tex3]
Calculando agora as equações para as retas que correspondem aos segmentos de reta [tex3]\overline{AC},\overline{BM},\overline{EF}[/tex3] , utilizando [tex3]D(0,0)[/tex3] :
[tex3]\overline{AC}[/tex3] :
[tex3]y=ax+b[/tex3]
[tex3]12=0a+b\Rightarrow b=12[/tex3]
[tex3]0=12a+b\Rightarrow a=-\frac{12}{12}\Rightarrow a=-1[/tex3]
[tex3]y=-x+12[/tex3]
[tex3]\overline{BM}[/tex3] :
[tex3]y=ax+b[/tex3]
[tex3]12=12a+b[/tex3]
[tex3]0=6a+b[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
12a+b=12 \\
6a+b=0
\end{cases}[/tex3]
[tex3]b=-12[/tex3]
Substituindo este valor em [tex3]6a+b=0[/tex3] , encontramos [tex3]a=2[/tex3]
[tex3]y=2x-12[/tex3]
Encontrando as coordenadas do ponto [tex3]O[/tex3] :
O ponto [tex3]O[/tex3] é a intersecção de [tex3]\overline{AC}[/tex3] com [tex3]\overline{BM}[/tex3] , logo basta igualar as equações das retas que encontramos as coordenadas de [tex3]O[/tex3] :
[tex3]-x+12=2x-12[/tex3]
[tex3]3x=24[/tex3]
[tex3]x=8\Rightarrow y=4[/tex3]
Agora calcularemos a equação para o segmento de reta [tex3]\overline{EF}[/tex3] :
[tex3]y=ax+b[/tex3]
[tex3]3=0a+b\Rightarrow b=3[/tex3]
[tex3]4=8a+3\Rightarrow a=\frac{1}{8}[/tex3]
[tex3]y=\frac{x}{8}+3[/tex3]
Então se o valor de x=12, encontramos o valor do segmento de reta [tex3]\overline{CF}[/tex3] :
[tex3]y=\frac{12}{8}+3[/tex3]
[tex3]y=\frac{9}{2}\Rightarrow \overline{CF}=\frac{9}{2}m[/tex3]
Note que a altura do [tex3]\triangle OFC[/tex3] é justamente a posição "x" do ponto [tex3]C[/tex3] menos a posição "x" do ponto [tex3]O[/tex3] . Logo, a altura deste triângulo valerá [tex3]12m-8m=4m[/tex3] .
Finalmente, a área do [tex3]\triangle OFC=\frac{\overline{CF}\cdot4m}{2}[/tex3]
[tex3]Area=\frac{{9m}\cdot2m}{2}[/tex3]
[tex3]Area=9m^2[/tex3]
Assim, a alternativa correta é a (D)[tex3]9\ m^2[/tex3]
Como a área do quadrado [tex3]ABCD[/tex3] é [tex3]144m^2[/tex3] , logo seu lado vai equivaler a [tex3]\sqrt{144}m=12m[/tex3] . Como [tex3]M[/tex3] é o ponto médio de [tex3]\overline{CD}[/tex3] , então [tex3]\overline{DM}=\overline{CM}=6m[/tex3]
Note que [tex3]\angle BMC+\angle CBM+90^{\circ}=180^{\circ}[/tex3] , e como [tex3]\angle DME+\angle BMC+90^{\circ}=180^{\circ}[/tex3] , logo encontramos que [tex3]\angle CBM=\angle DME[/tex3] , e [tex3]\angle BMC=\angle DEM[/tex3] . Usando [tex3]\triangle BMC[/tex3] , temos que [tex3]\tg(\angle BMC)=\frac{\overline{BC}}{\overline{CM}}\Rightarrow\tg(\angle BMC)=\frac{12m}{6m}\Rightarrow\tg(\angle BMC)=2[/tex3]
Utilizando o [tex3]\triangle EDM[/tex3] , temos que [tex3]\tg(\angle DEM)=\frac{\overline{DM}}{\overline{DE}}\Rightarrow2=\frac{6}{\overline{DE}}\Rightarrow\overline{DE}=3m[/tex3]
Calculando agora as equações para as retas que correspondem aos segmentos de reta [tex3]\overline{AC},\overline{BM},\overline{EF}[/tex3] , utilizando [tex3]D(0,0)[/tex3] :
[tex3]\overline{AC}[/tex3] :
[tex3]y=ax+b[/tex3]
[tex3]12=0a+b\Rightarrow b=12[/tex3]
[tex3]0=12a+b\Rightarrow a=-\frac{12}{12}\Rightarrow a=-1[/tex3]
[tex3]y=-x+12[/tex3]
[tex3]\overline{BM}[/tex3] :
[tex3]y=ax+b[/tex3]
[tex3]12=12a+b[/tex3]
[tex3]0=6a+b[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
12a+b=12 \\
6a+b=0
\end{cases}[/tex3]
[tex3]b=-12[/tex3]
Substituindo este valor em [tex3]6a+b=0[/tex3] , encontramos [tex3]a=2[/tex3]
[tex3]y=2x-12[/tex3]
Encontrando as coordenadas do ponto [tex3]O[/tex3] :
O ponto [tex3]O[/tex3] é a intersecção de [tex3]\overline{AC}[/tex3] com [tex3]\overline{BM}[/tex3] , logo basta igualar as equações das retas que encontramos as coordenadas de [tex3]O[/tex3] :
[tex3]-x+12=2x-12[/tex3]
[tex3]3x=24[/tex3]
[tex3]x=8\Rightarrow y=4[/tex3]
Agora calcularemos a equação para o segmento de reta [tex3]\overline{EF}[/tex3] :
[tex3]y=ax+b[/tex3]
[tex3]3=0a+b\Rightarrow b=3[/tex3]
[tex3]4=8a+3\Rightarrow a=\frac{1}{8}[/tex3]
[tex3]y=\frac{x}{8}+3[/tex3]
Então se o valor de x=12, encontramos o valor do segmento de reta [tex3]\overline{CF}[/tex3] :
[tex3]y=\frac{12}{8}+3[/tex3]
[tex3]y=\frac{9}{2}\Rightarrow \overline{CF}=\frac{9}{2}m[/tex3]
Note que a altura do [tex3]\triangle OFC[/tex3] é justamente a posição "x" do ponto [tex3]C[/tex3] menos a posição "x" do ponto [tex3]O[/tex3] . Logo, a altura deste triângulo valerá [tex3]12m-8m=4m[/tex3] .
Finalmente, a área do [tex3]\triangle OFC=\frac{\overline{CF}\cdot4m}{2}[/tex3]
[tex3]Area=\frac{{9m}\cdot2m}{2}[/tex3]
[tex3]Area=9m^2[/tex3]
Assim, a alternativa correta é a (D)[tex3]9\ m^2[/tex3]
Última edição: Lonel (Ter 13 Jun, 2017 11:07). Total de 2 vezes.
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