Ensino Fundamental ⇒ Triângulo retângulo Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Jun 2017
01
18:00
Triângulo retângulo
Calcular o raio do círculo inscrito no triângulo isósceles cujos lados são [tex3]AB = AC = 5[/tex3]
e [tex3]BC = 6[/tex3]
.
Vestibulando rumo à FAUUSP.
Jun 2017
01
19:07
Re: Triângulo retângulo
Olá felipef, Boa noite.
Certamente tem mais de uma maneira para calcular o raio desse círculo, mas aqui vou utilizar duas maneiras de calcular a área desse triângulo inscrito, uma delas envolverá o que queremos encontrar (raio) e como trata-se do mesmo triângulo as áreas são equivalentes.
Solução:
Seja [tex3]\Delta ABC[/tex3] um triângulo isósceles com os lados [tex3]\overline{AB}=\overline{BC}=5 \ \ \ \ e \ \ \ \overline{BC}=6[/tex3] , [tex3]\overline{AD}[/tex3] é a altura relativa ao lado [tex3]\overline{BC}[/tex3] e [tex3]r[/tex3] o inraio do círculo inscrito de centro [tex3]O[/tex3] .
Observe a figura que ilustra tudo o que foi "dito" acima:
Temos que a área desse triângulo é:
[tex3]A_{\Delta ABC}=A_{\Delta AOB}+A_{\Delta BOC}+A_{\Delta AOC}[/tex3]
[tex3]\frac{base\times altura}{2}=\frac{\overline{AB}\cdot r}{2}+\frac{\overline{BC}\cdot r}{2}+\frac{\overline{AC}\cdot r}{2}[/tex3]
[tex3]\frac{6\cdot 4}{2}=\frac{5\cdot r}{2}+\frac{6\cdot r}{2}+\frac{5\cdot r}{2}[/tex3]
[tex3]12=8r[/tex3]
[tex3]r=\frac{12}{8}[/tex3]
[tex3]r=\frac{3}{2} \ \ u.c \ \ \ \ \ \ ou \ \ \ \ \ \ r=1,5 \ u.c[/tex3]
[tex3]Nota_{1}[/tex3] : A altura [tex3]\overline{AD}[/tex3] foi encontrada utilizando o teorema de Pitágoras:
[tex3](\overline{AC})^2=(\overline{CD})^2+(\overline{AD})^2[/tex3]
[tex3]5^{2}=3^2+(\overline{AD})^{2} \ \ ⟹ \ \ \overline{AD}=4 \ u.c[/tex3]
[tex3]Nota_{2}[/tex3] : O raio também poderia ser encontrado usando apenas semelhança de triângulo.
Att>>rodBR.
Certamente tem mais de uma maneira para calcular o raio desse círculo, mas aqui vou utilizar duas maneiras de calcular a área desse triângulo inscrito, uma delas envolverá o que queremos encontrar (raio) e como trata-se do mesmo triângulo as áreas são equivalentes.
Solução:
Seja [tex3]\Delta ABC[/tex3] um triângulo isósceles com os lados [tex3]\overline{AB}=\overline{BC}=5 \ \ \ \ e \ \ \ \overline{BC}=6[/tex3] , [tex3]\overline{AD}[/tex3] é a altura relativa ao lado [tex3]\overline{BC}[/tex3] e [tex3]r[/tex3] o inraio do círculo inscrito de centro [tex3]O[/tex3] .
Observe a figura que ilustra tudo o que foi "dito" acima:
- 33.png (4.84 KiB) Exibido 3049 vezes
[tex3]A_{\Delta ABC}=A_{\Delta AOB}+A_{\Delta BOC}+A_{\Delta AOC}[/tex3]
[tex3]\frac{base\times altura}{2}=\frac{\overline{AB}\cdot r}{2}+\frac{\overline{BC}\cdot r}{2}+\frac{\overline{AC}\cdot r}{2}[/tex3]
[tex3]\frac{6\cdot 4}{2}=\frac{5\cdot r}{2}+\frac{6\cdot r}{2}+\frac{5\cdot r}{2}[/tex3]
[tex3]12=8r[/tex3]
[tex3]r=\frac{12}{8}[/tex3]
[tex3]r=\frac{3}{2} \ \ u.c \ \ \ \ \ \ ou \ \ \ \ \ \ r=1,5 \ u.c[/tex3]
[tex3]Nota_{1}[/tex3] : A altura [tex3]\overline{AD}[/tex3] foi encontrada utilizando o teorema de Pitágoras:
[tex3](\overline{AC})^2=(\overline{CD})^2+(\overline{AD})^2[/tex3]
[tex3]5^{2}=3^2+(\overline{AD})^{2} \ \ ⟹ \ \ \overline{AD}=4 \ u.c[/tex3]
[tex3]Nota_{2}[/tex3] : O raio também poderia ser encontrado usando apenas semelhança de triângulo.
Att>>rodBR.
Última edição: rodBR (Qui 01 Jun, 2017 19:07). Total de 2 vezes.
"Uma vida sem questionamentos não merece ser vivida".
Movido de Fórum de Matemática Pré-Vestibular para Ensino Fundamental em Sex 02 Jun, 2017 10:02 por ALDRIN
Set 2020
29
12:56
Re: Triângulo retângulo
rodBR, o post é antigo, mas fiquei com uma dúvida:
Se considerarmos o segmento [tex3]\overline{BM}[/tex3]
como sendo perpendicular ao segmento [tex3]\overline{AC}[/tex3]
, o ângulo [tex3]\hat{C}[/tex3]
valendo [tex3]2 \alpha[/tex3]
e a soma dos ângulos do triângulo [tex3]\Delta BMC[/tex3]
como sendo [tex3]2 \alpha + \alpha + 90[/tex3]
, isso implicaria que [tex3]3 \alpha + 90 = 180[/tex3]
e que [tex3]\alpha = 30[/tex3]
, fazendo com que os dois ângulos da base tenham o valor de 60º, tornando impossível que o triângulo tenha dois lados diferentes, como diz o enunciado. O gabarito do meu livro consta que sua resolução está correta, mas não consigo entender o porquê da minha relação estar errada
- 29-09-20--12-46-45.png (7.29 KiB) Exibido 1958 vezes
Última edição: encucado (Ter 29 Set, 2020 12:59). Total de 1 vez.
Set 2020
29
16:41
Re: Triângulo retângulo
Os pontos [tex3]B, \ O \ e \ M[/tex3] não são colineares e se fossem colineares não formaria aquele ângulo de [tex3]90^{\circ}[/tex3] o únicos três pontos que são colineares são o [tex3]A,O \ e \ D[/tex3]encucado escreveu: ↑Ter 29 Set, 2020 12:56rodBR, o post é antigo, mas fiquei com uma dúvida:
29-09-20--12-46-45.png
Se considerarmos o segmento [tex3]\overline{BM}[/tex3] como sendo perpendicular ao segmento [tex3]\overline{AC}[/tex3] , o ângulo [tex3]\hat{C}[/tex3] valendo [tex3]2 \alpha[/tex3] e a soma dos ângulos do triângulo [tex3]\Delta BMC[/tex3] como sendo [tex3]2 \alpha + \alpha + 90[/tex3] , isso implicaria que [tex3]3 \alpha + 90 = 180[/tex3] e que [tex3]\alpha = 30[/tex3] , fazendo com que os dois ângulos da base tenham o valor de 60º, tornando impossível que o triângulo tenha dois lados diferentes, como diz o enunciado. O gabarito do meu livro consta que sua resolução está correta, mas não consigo entender o porquê da minha relação estar errada
Seriam colineares e formaria o ângulo de [tex3]90^{\circ}[/tex3] se o triângulo fosse equilátero, pois as alturas são bissetriz, mediana e estão tbm na mediatriz. Nesse tempo eu não usava o Geogebra, então ficou ruim a figura. A solução está correta, pois a ideia foi usar área e o raio é a altura dos triângulos. A noite farei a figura para VC ver prq do jeito q tá aí ficou parecendo que os pontos são colineares e não são!
Última edição: rodBR (Ter 29 Set, 2020 16:57). Total de 2 vezes.
"Uma vida sem questionamentos não merece ser vivida".
Set 2020
29
23:00
Re: Triângulo retângulo
encucado,
Figura:
Outra Solução:
Pelo Teorema de Burlet:
[tex3][ABC]=\overline{BD}\cdot\overline{DC}\cdot cotg(\theta)\\
[ABC]=3\cdot3\cdot\frac{2}{r}\\
\boxed{[ABC]=6\cdot\frac{3}{r}} \ \ (I)[/tex3]
Por outro lado:
[tex3][ABC]=\frac{6\cdot4}{2}\\
[ABC]=12 \ \ \text{ Substituindo (I)}:\\
6\cdot\frac{3}{r}=12\\
\frac{3}{r}=2\\
\boxed{r=\frac{3}{2}} \ \ ou \ \ \boxed{r=1,5}[/tex3]
Outra Solução:
O semiperimetro do [tex3]\Delta{ABC}[/tex3] é [tex3]p=8[/tex3] .
Das fórmulas de área:
[tex3][ABC]=p\cdot r\\
\frac{\overline{BC}\cdot\overline{AD}}{2}=p\cdot r\\
\frac{6\cdot4}{2}=8r\\
12=8r\\
\boxed{r=\frac{3}{2}} \ \ ou \ \ \boxed{r=1,5}[/tex3]
Outra Solução:
[tex3]\overline{BO}[/tex3] é bissetriz do [tex3]\angle{ABD}[/tex3] , daí segue que [tex3]\angle{ABO}=\angle{OBD}=\beta[/tex3] .
Do [tex3]\Delta OBD[/tex3] :
[tex3]\boxed{\tg(\beta)=\frac{r}{3}} \ \ (*)[/tex3]
Do [tex3]\Delta{ABD}[/tex3] :
[tex3]\tg(2\beta)=\frac{4}{3} \ \ \text{Da tangente do arco duplo}:\\
\frac{2\tg(\beta)}{1-\tg^2(\beta)}=\frac43 \ \ \text{Substituindo (*)} : \\
\frac{2\cdot\frac{r}{3}}{1-\left(\frac r3\right)^2}=\frac43\\
\frac{2r}{\frac{9-r^2}{9}}=4\\
\frac{9r}{9-r^2}=2\\
9r= 18-2r^2\\
2r^2+9r-18=0\\
\begin{cases}
\Delta=225\\
\boxed{r=\frac{3}{2}}\iff \boxed{r=1,5}\\
Ou,\\
\cancel{r=-6} \ (não \ convém, \ pois \ r\in\mathbb{R_+^*})
\end{cases}[/tex3]
att>>rodBR
Figura:
- fig.png (17.53 KiB) Exibido 1919 vezes
Pelo Teorema de Burlet:
[tex3][ABC]=\overline{BD}\cdot\overline{DC}\cdot cotg(\theta)\\
[ABC]=3\cdot3\cdot\frac{2}{r}\\
\boxed{[ABC]=6\cdot\frac{3}{r}} \ \ (I)[/tex3]
Por outro lado:
[tex3][ABC]=\frac{6\cdot4}{2}\\
[ABC]=12 \ \ \text{ Substituindo (I)}:\\
6\cdot\frac{3}{r}=12\\
\frac{3}{r}=2\\
\boxed{r=\frac{3}{2}} \ \ ou \ \ \boxed{r=1,5}[/tex3]
Outra Solução:
O semiperimetro do [tex3]\Delta{ABC}[/tex3] é [tex3]p=8[/tex3] .
Das fórmulas de área:
[tex3][ABC]=p\cdot r\\
\frac{\overline{BC}\cdot\overline{AD}}{2}=p\cdot r\\
\frac{6\cdot4}{2}=8r\\
12=8r\\
\boxed{r=\frac{3}{2}} \ \ ou \ \ \boxed{r=1,5}[/tex3]
Outra Solução:
[tex3]\overline{BO}[/tex3] é bissetriz do [tex3]\angle{ABD}[/tex3] , daí segue que [tex3]\angle{ABO}=\angle{OBD}=\beta[/tex3] .
Do [tex3]\Delta OBD[/tex3] :
[tex3]\boxed{\tg(\beta)=\frac{r}{3}} \ \ (*)[/tex3]
Do [tex3]\Delta{ABD}[/tex3] :
[tex3]\tg(2\beta)=\frac{4}{3} \ \ \text{Da tangente do arco duplo}:\\
\frac{2\tg(\beta)}{1-\tg^2(\beta)}=\frac43 \ \ \text{Substituindo (*)} : \\
\frac{2\cdot\frac{r}{3}}{1-\left(\frac r3\right)^2}=\frac43\\
\frac{2r}{\frac{9-r^2}{9}}=4\\
\frac{9r}{9-r^2}=2\\
9r= 18-2r^2\\
2r^2+9r-18=0\\
\begin{cases}
\Delta=225\\
\boxed{r=\frac{3}{2}}\iff \boxed{r=1,5}\\
Ou,\\
\cancel{r=-6} \ (não \ convém, \ pois \ r\in\mathbb{R_+^*})
\end{cases}[/tex3]
att>>rodBR
Última edição: rodBR (Qua 30 Set, 2020 16:18). Total de 2 vezes.
"Uma vida sem questionamentos não merece ser vivida".
Set 2020
30
11:55
Re: Triângulo retângulo
Muito obrigado pelas resoluções detalhadas, agora está totalmente claro.
-
gabrielswift 
- Mensagens: 3
- Registrado em: Seg 14 Mar, 2022 15:24
- Última visita: 25-05-22
Mai 2022
25
16:31
Re: Triângulo retângulo
RodBR, como poderia resolver essa questão por semelhança de triângulos?
Última edição: gabrielswift (Qua 25 Mai, 2022 16:33). Total de 1 vez.
Mai 2022
25
17:11
Re: Triângulo retângulo
gabrielswift,
Outra forma rápida..
[tex3]S\triangle ABC = p.r\implies\frac{6.4}{2} = \frac{(6+5+5)}{2}.r\\ \therefore r =\frac{12}{8}=\boxed{r=\frac{3}{2}\color{green}\checkmark} [/tex3]
Outra forma rápida..
[tex3]S\triangle ABC = p.r\implies\frac{6.4}{2} = \frac{(6+5+5)}{2}.r\\ \therefore r =\frac{12}{8}=\boxed{r=\frac{3}{2}\color{green}\checkmark} [/tex3]
Mai 2022
25
17:19
Re: Triângulo retângulo
gabrielswift,
[tex3]\mathsf{\triangle ADB \sim AEO \implies \frac{r}{3}=\frac{2}{4} \therefore r= \frac{6}{4} = \boxed{\frac{3}{2}\color{green}\checkmark}}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\triangle ADB \sim AEO \implies \frac{r}{3}=\frac{2}{4} \therefore r= \frac{6}{4} = \boxed{\frac{3}{2}\color{green}\checkmark}}[/tex3]
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