Ensino FundamentalProdutos notáveis e fatoração

Problemas sobre assuntos estudados no Ensino Fundamental devem ser postados aqui (exceto problemas de Vestibulares).

Moderador: [ Moderadores TTB ]

Avatar do usuário
Autor do Tópico
Rhuan
iniciante
Mensagens: 4
Registrado em: Dom 08 Nov, 2015 21:30
Última visita: 01-04-17
Agradeceram: 1 vez
Mar 2017 30 00:26

Produtos notáveis e fatoração

Mensagem não lida por Rhuan » Qui 30 Mar, 2017 00:26

O equivalente de:
(a + b + c)4 + a4 + b4 + c4 - (a+b)4 - (b+c)4 - (a+c)4 é ?
Resposta

12abc(a + b + c)

Última edição: Rhuan (Qui 30 Mar, 2017 00:26). Total de 1 vez.



Avatar do usuário
rodBR
3 - Destaque
Mensagens: 314
Registrado em: Sáb 28 Jan, 2017 22:37
Última visita: 02-12-19
Agradeceu: 148 vezes
Agradeceram: 312 vezes
Abr 2017 04 14:51

Re: Produtos notáveis e fatoração

Mensagem não lida por rodBR » Ter 04 Abr, 2017 14:51

Olá Rhuan, boa tarde.

"O equivalente de:
[tex3](a+b+c)^{4} + a^{4} + b^{2} + c^{4} - (a+b)^{4}- (b+c)^4 - (a+c)^4\ \ é[/tex3] ?"


[tex3]\bullet \ Vamos\ agrupar\ a\ fim\ de\ termos \ diferenças\ de\ quadrados:[/tex3]
[tex3]=\ (a+b+c)^{4}+(a^{2})^{2}-[(b+c)^2]^{2}+(b^{2})^{2}-[(a+c)^2]^{2}+(c^{2})^{2}-[(a+b)^2]^{2}[/tex3] . Agora fatore as diferenças de quadrado:
[tex3]=\ (a+b+c)^{4}+[a^{2}+(b+c)^{2}]\cdot [a^{2}-(b+c)^{2}]+[b^{2}+(a+c)^{2}]\cdot [b^{2}-(a+c)^{2}]+[c^{2}+(a+b)^{2}]\cdot [c^{2}-(a+b)^{2}][/tex3] . Novamente fatore as diferenças de quadrados de todas as segunda parcelas:
[tex3]=\ (a+b+c)^{4}+(a^{2}+b^{2}+c^{2}+2bc)\cdot (a+b+c)\cdot (a-b-c)+(a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ac)\cdot (a+b+c)\cdot (b-a-c)+(a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab)\cdot (a+b+c)\cdot (c-a-b)[/tex3] . Coloque [tex3](a+b+c)[/tex3] em evidência:
[tex3]=\ (a+b+c)\cdot [(a+b+c)^{3}+(a^{2}+b^{2}+c^{2}+2bc)\cdot (a-b-c)+(a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ac)\cdot (b-a-c)+(a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab)\cdot(c-a-b)][/tex3]
[tex3]=\ (a+b+c)\cdot [(a+b+c)^{3}+a^{3}-a^{2}b-a^{2}c+ab^{2}-b^3-b^2c+ac^2-bc^2-c^3+2abc-2b^2c-2bc^2[/tex3]
[tex3]\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +a^2b-a^3-a^2c+b^3-ab^2-b^2c+bc^2-ac^2-c^3+2abc-2a^2c-2ac^2[/tex3]
[tex3]\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +a^2c-a^3-a^2b+b^2c-ab^2-b^3+c^3-ac^2-bc^2+2abc-2a^2b-2ab^2][/tex3] . Fazendo os cancelamentos e as respectivas somas teremos:
[tex3]=\ (a+b+c)\cdot [(a+b+c)^{3}+6abc-a^3-b^3-c^3-3bc^2-3b^2c-3a^2c-3ab^2-3a^2b-3ac^2][/tex3]
[tex3]=\ (a+b+c)\cdot [(a+b+c)^{3}+6abc-(a^3+b^3+c^3+3bc^2+3b^2c+3a^2c+3ab^2+3a^2b+3ac^2)][/tex3]
[tex3]=\ (a+b+c)\cdot [(a+b+c)^{3}+6abc-((a+b+c)^{3}-6abc)][/tex3]
[tex3]=\ (a+b+c)\cdot [(a+b+c)^{3}+6abc-(a+b+c)^{3}+6abc][/tex3] . Disso obtemos:
[tex3]=\ 12abc\cdot (a+b+c)[/tex3]


Nota: Na resolução foi usado:
[tex3]diferença\ de \ quadrados\rightarrow a^2-b^2=(a+b)\cdot (a-b)[/tex3]
[tex3]Cubo\ da\ soma\ de\ três\ termos\rightarrow (a+b+c)^{3}=a^{3}+b^{3}+c^3+3a^2b+3a^2c+3ab^2+3b^2c+3ac^2+3bc^2+6abc[/tex3] .
Também usamos o seguinte fato: [tex3](a^3+b^3+c^3+3bc^2+3b^2c+3a^2c+3ab^2+3a^2b+3ac^2)=(a+b+c)^{3}-6abc[/tex3]

Se alguém conseguir uma maneira mais simples por favor exponha.


Att>> rodBR.

Última edição: rodBR (Ter 04 Abr, 2017 14:51). Total de 1 vez.


"Uma vida sem questionamentos não merece ser vivida".

Responder
  • Tópicos Semelhantes
    Respostas
    Exibições
    Última msg

Voltar para “Ensino Fundamental”