Em um triângulo retângulo ABC, reto em B, traça-se a ceviana interior BP,de tal maneira que: BP/5=AP=PC/7. Calcular a medida do ângulo B P C.
a)30 graus
b)37 graus
c)45 graus
d)53 graus
e)60 graus
Ensino Fundamental ⇒ Triângulo Retângulo
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Mar 2017
18
18:59
Re: Triângulo Retângulo
[tex3]\frac{\sen(a)}{5.AP}=\frac{\sen(b)}{AP}[/tex3]
[tex3]\sen(a)=5.\sen(b)[/tex3]
[tex3]\frac{\sen(90-a)}{5.AP}=\frac{\sen(90-b)}{7.AP}[/tex3]
[tex3]7\cos(a)=5.\cos(b)[/tex3]
elevando as equações ao quadrado e somando
[tex3]\sen^2a+49cos^2a=25\sen^2b+25\cos^2b)[/tex3]
[tex3]\sen^2a+49cos^2a=25(\sen^2b+\cos^2b)[/tex3]
[tex3]1-\cos^2a+49cos^2a=25(\sen^2b+\cos^2b)[/tex3]
[tex3]48.cos^2a=24[/tex3]
[tex3]\cos(a)=\frac{1}{\sqrt2}[/tex3]
portanto a=45, então concluímos que trata-se de um triangulo isoceles de angulos 45 e 90, se traçarmos a altura relativa ao lado AC teremos que
[tex3]OP=\frac{AC}{2}-AP=3.AP[/tex3]
[tex3](5.AP)^2=(3.AP)^2+(BO)^2[/tex3]
[tex3]BO=4.AP[/tex3]
trata-se de um triangulo semelhante ao triangulo retângulo de lados 3, 4, 5. podemos concluir que este ângulo é maior que 45º e inferior à 60º então pelas alternativas deve ser 53º
Última edição: jedi (Sáb 18 Mar, 2017 18:59). Total de 1 vez.
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