Ensino Fundamental ⇒ Potência de Ponto

[FISMAQUIM]

Na figura a seguir, sabe-se que: [tex3]PQ = 5[/tex3]

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[tex3]PQ = 5[/tex3]

e [tex3]AP = 4[/tex3]

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[tex3]AP = 4[/tex3]

. Calcule [tex3]OM[/tex3]

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[tex3]OM[/tex3]

, sendo o ponto [tex3]O[/tex3]

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[tex3]O[/tex3]

centro da semicircunferência. Dados: [tex3]HM = MB = TM[/tex3]

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[tex3]HM = MB = TM[/tex3]

Sem título-1.gif (13.39 KiB) Exibido 965 vezes

Achei essa figura muito confusa

[csmarcelo]

Acho que está faltando alguma informação no enunciado.

[csmarcelo]

Consegui chegar na resposta.

Se [tex3]AQ[/tex3]

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[tex3]AQ[/tex3]

for o diâmetro da circunferência, então:

1) por Potência de Ponto, [tex3]AP\cdot AQ=TH^2\rightarrow TH=\sqrt{20}=2\sqrt{5}[/tex3]

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[tex3]AP\cdot AQ=TH^2\rightarrow TH=\sqrt{20}=2\sqrt{5}[/tex3]

2) por sobreposição, [tex3]HB=PQ=5[/tex3]

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[tex3]HB=PQ=5[/tex3]

Por Pitágoras, [tex3]TB^2=TH^2+HB^2=(2\sqrt{5})^2+5^2\rightarrow TB=3\sqrt{5}[/tex3]

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[tex3]TB^2=TH^2+HB^2=(2\sqrt{5})^2+5^2\rightarrow TB=3\sqrt{5}[/tex3]

3) [tex3]OB=raio=\frac{9}{2}[/tex3]

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[tex3]OB=raio=\frac{9}{2}[/tex3]

[tex3]MO[/tex3]

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[tex3]MO[/tex3]

é um segmento que liga o ponto médio da corda [tex3]TB[/tex3]

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[tex3]TB[/tex3]

ao centro da circunferência e, portanto, [tex3]\angle{AMB}=90^\circ[/tex3]

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[tex3]\angle{AMB}=90^\circ[/tex3]

.

Por Pitágoras, [tex3]{MO}^2=OB^2-MB^2=\left(\frac{9}{2}\right)^2-\left(\frac{3\sqrt{5}}{2}\right)^2\rightarrow MO=3[/tex3]

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[tex3]{MO}^2=OB^2-MB^2=\left(\frac{9}{2}\right)^2-\left(\frac{3\sqrt{5}}{2}\right)^2\rightarrow MO=3[/tex3]

[petras]

Olá csmarcelo, poderia explicar o item 2) POR SOBREPOSIÇÃO, HB=PQ=5HB=PQ=5 ?

[csmarcelo]

Os segmentos coincidirão, petras.

[csmarcelo]

Só estava pensando aqui se o que eu fiz é suficiente para provar que em qualquer situação [tex3]OM[/tex3]

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[tex3]OM[/tex3]

medirá 3 u.m. Acho que não...

[csmarcelo]

A propósito, sei que [tex3]\angle{THB}[/tex3]

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[tex3]\angle{THB}[/tex3]

é reto, pois [tex3]HM=MB=TM[/tex3]

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[tex3]HM=MB=TM[/tex3]

e [tex3]MB[/tex3]

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[tex3]MB[/tex3]

é mediana.

Deixo aqui um link para facilitar o entendimento: GeoGebra. Basta mover o ponto [tex3]D[/tex3]

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[tex3]D[/tex3]

até que AB se torne o diâmetro da circunferência.

[petras]

Eu tinha entendido essa parte que eram iguais mas não tinha entendido como chegou a essa afirmação. Para uma resolução algébrica não seria necessário provar algebricamente que os segmentos são iguais? Em uma prova acho que não poderíamos utilizar esse recurso. O que acha?

[csmarcelo]

Eu até acho que a demonstração é válida para essa situação específica ([tex3]AQ[/tex3]

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[tex3]AQ[/tex3]

correspondendo ao diâmetro).

A única coisa que "amarra" o triângulo à corda é o fato do ponto P pertencer ao segmento [tex3]TH[/tex3]

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[tex3]TH[/tex3]

. O que eu fiz foi tomar a liberdade de fazer [tex3]P=H[/tex3]

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[tex3]P=H[/tex3]

.

Mas é aquilo: ainda assim não tem nada que diga que o mesmo vale para qualquer circunferência de diâmetro superior a 9.

[danielvitor23]

Qual a origem da questão?