Ensino Fundamental ⇒ Triângulo Tópico resolvido

[Flavio2020]

Em um triângulo ABC traça-se a bissetriz BD,(D) em AC, que intercepta a circunferência circunscrita em E.Se AE=4 e BE=8, calcular BI.(I é o incentro do triângulo ABC).
a)2
b)1
c)3
d)4
e)5

[rodBR]

Olá, bom dia. A resposta é 4. A questão aborda triângulos inscritos em uma circunferência e pontos notáveis de um triângulo, neste caso o incentro (Ponto de encontro das bissetrizes de um triangulo). Esse problema é uma a aplicação direta do seguinte teorema:

Teorema: Seja [tex3]ABC[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]ABC[/tex3]

um triângulo e [tex3]I[/tex3]

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[tex3]I[/tex3]

seu incentro. Seja [tex3]E[/tex3]

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[tex3]E[/tex3]

o ponto de interseção de [tex3]AI[/tex3]

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[tex3]AI[/tex3]

com a circunferência circunscrita ao triângulo [tex3]ABC[/tex3]

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[tex3]ABC[/tex3]

. Então [tex3]EI=EB=EC[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]EI=EB=EC[/tex3]

.

O professor Cícero Thiago tem um ótimo material que aborda esse teorema; lá consta a demonstração, que é bastante simples e de fácil entendimento. Veja o Teorema 6 da página 5. Link: http://www.obm.org.br/export/sites/defa ... cicero.pdf

Obs: Para o entendimento deste teorema vc vai precisar saber basicamente que (I) a bissetriz de um ângulo é uma semi-reta que parte do vértice deste ângulo e tem a propriedade de dividir o ângulo em dois outros ângulos congruentes, (II) Conhecimentos de Quadriláteros inscritíveis (relacionado a ângulos), (III) teorema do ângulo externo (saber que o angulo externo é soma dos ângulos internos não adjacentes a ele) e no final utilizar a razão trigonométrica cosseno.

Espero ter ajudado. Qualquer dúvida é só expor.

Att>> rodBR.